8.2H Em cada caso abaixo, calcule o comprimento do arco indicado:
(c) lx=2(1-sen t) y=2(1-cos t), 0 <= t <= pi

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
x=2l(1-sen tr), y=2l(1-cos tr), 0<= t<=pi,
e pede o comprimento do arco de t=0 a t=pi. O conteúdo é comprimento de curva em R^2, cuja fórmula é
L = integrala^b raizl(dxdtr)^2 + l(dydtr)^2,dt

Passo 2

Calculamos as derivadas:
dxdt =2cdotddt(1-sen t) =-2cos t, dydt =2cdotddt(1-cos t) =2sin t

Passo 3

Formamos o integrando:
raizl(dxdtr)^2 + l(dydtr)^2 =raiz(-2cos t)^2 + (2sin t)^2 =raiz4cos^2 t + 4sin^2 t =raiz4(cos^2 t+sin^2 t) =2

Passo 4

Como o integrando é constante, a integral fica
L = integral0^pi2,dt =2l[tr]0^pi =2pi

Resposta

O comprimento do arco é 2pi.

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