8.2H Em cada caso abaixo, calcule o comprimento do arco indicado:
(d) lx=t cos t y=t sen t, 0 <= t <= pi / 4

Passo 1

O enunciado pede o comprimento do arco da curva paramétrica
x(t) = tcos t, y(t) = tsin t, 0 <= t <= pi4
O conteúdo é comprimento de arco de curva no plano. Vamos usar a fórmula
L = integrala^b raizl(x'(t)r)^2 + l(y'(t)r)^2;dt

Passo 2

Calculamos as derivadas:
x'(t) = ddtl(tcos tr) = cos t - tsin t,
y'(t) = ddtl(tsin tr) = sin t + tcos t
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l(x'(t)r)^2 + l(y'(t)r)^2 = (cos t - tsin t)^2 + (sin t + tcos t)^2 = cos^2t + sin^2t + t^2(sin^2t + cos^2t) = 1 + t^2

Passo 3

Então o comprimento de arco fica
L = integral0^pi/4 raiz1 + t^2;dt

Passo 4

A primitiva de raiz1+t^2 é
integral raiz1 + t^2;dt = t2raiz1+t^2 + 12lnl(t + raiz1+t^2r) + C

Passo 5

Avaliando de 0 a pi/4:
L = [, t2raiz1+t^2 + 12lnl(t + raiz1+t^2r) ]0^pi/4 = 12l(pi4raiz1+tfracpi^216 + lnl(tfracpi4 + raiz1+tfracpi^216r)r)

Resposta

L = 12l(pi4raiz1+pi^216 + lnl(tfracpi4 + raiz1+tfracpi^216r)r)

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