Alguns tipos especiais de equações de segunda ordem podem, após uma mudança de variável, ser reduzidas a uma outra equação de primeira ordem e então resolvidas pelos métodos conhecidos.
Método da redução de ordem I - Variável Dependente Ausente: Se na equação y não estiver presente (somente suas derivadas), fazemos e obtemos uma equação de primeira ordem.
Exemplo: Fazendo na equação temos a equação
Método da redução de ordem II - Variável Independente Ausente: Se na equação não estiver presente (somente e suas derivadas), fazemos , donde
e então obtemos duas equações de primeira ordem.
Exemplo: Fazendo isso na equação temos as equações , que resolvemos para , e , que permite encontrar , depois de determinada
Resolva, com essas técnicas, as seguintes equações diferenciais e problemas de valor inicial. e .
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
com as condições iniciais e . Observando que a variável independente não aparece explicitamente, vamos usar o Método II – variável independente ausente, definindo
de modo que
Passo 2
Substituindo e na equação original obtemos
ou seja
Como (pois ), dividimos por e achamos
Passo 3
Reescrevendo como equação linear em :
O fator integrante é
Multiplicando por segue
Passo 4
Usamos as condições iniciais em :
Como , impomos
Logo
Passo 5
Separamos variáveis:
Fazendo frações parciais
integramos
Multiplicando por tfrac32 vem
ln!l|y-tfrac32yr| = tfrac32,x + D' Longrightarrow y-tfrac32y = M,e^tfrac3x2