Alguns tipos especiais de equações de segunda ordem podem, após uma mudança de variável, ser reduzidas a uma outra equação de primeira ordem e então resolvidas pelos métodos conhecidos.
  • Método da redução de ordem I - Variável Dependente Ausente: Se na equação y não estiver presente (somente suas derivadas), fazemos z=y^prime e obtemos uma equação de primeira ordem.
    Exemplo: Fazendo z=y^prime na equação x y^prime prime-y^prime=3 x^2 temos a equação x z^prime-z=3 x^2
  • Método da redução de ordem II - Variável Independente Ausente: Se na equação x não estiver presente (somente y e suas derivadas), fazemos u=y^prime=d yd x, donde
y^prime prime=u^prime=d ud x=d ud y d yd x=u d ud y
e então obtemos duas equações de primeira ordem.
Exemplo: Fazendo isso na equação y^prime prime+y=0 temos as equações u d ud y+y=0, que resolvemos para u(y), e u=d yd x, que permite encontrar y(x), depois de determinada u(y) square
Resolva, com essas técnicas, as seguintes equações diferenciais e problemas de valor inicial.
y y^prime prime=y^2 y^prime+(y^prime)^2, com y(0)=-12 e y^prime(0)=1.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
y,y'' = y^2,y' + (y')^2
com as condições iniciais y(0)=-tfrac12 e y'(0)=1. Observando que a variável independente x não aparece explicitamente, vamos usar o Método II – variável independente ausente, definindo
u = y'=dydx,
de modo que
y'' = dudx = dudy,dydx = u,dudy

Passo 2

Substituindo u e y'' na equação original obtemos
y;l(u,tfracdudyr) ;=; y^2,u + u^2,
ou seja
y,u,dudy = u,(y^2 + u)
Como uneq0 (pois u(0)=1), dividimos por u e achamos
y,dudy = y^2 + u

Passo 3

Reescrevendo como equação linear em u(y):
dudy - 1y,u = y
O fator integrante é
mu(y) = exp!l(-integral tfrac1ydyr) = y^-1
Multiplicando por mu(y) segue
ddyl(uyr) = 1 Longrightarrow uy = y + C Longrightarrow u = y^2 + C,y

Passo 4

Usamos as condições iniciais em x=0:
y(0)=-tfrac12, u(0)=y'(0)=1
Como u(0)=(-tfrac12)^2+C(-tfrac12)=tfrac14 - tfracC2, impomos
1 = tfrac14 - tfracC2 Longrightarrow -tfracC2 = tfrac34 Longrightarrow C = -tfrac32
Logo
y' = u = y^2 - tfrac32,y

Passo 5

Separamos variáveis:
dyy,(y - tfrac32) = dx
Fazendo frações parciais
1y(y-tfrac32) = -tfrac23,1y ;+;tfrac23,1y-tfrac32,
integramos
-tfrac23ln|y| + tfrac23lnl|y-tfrac32r| = x + D
Multiplicando por tfrac32 vem
ln!l|y-tfrac32yr| = tfrac32,x + D' Longrightarrow y-tfrac32y = M,e^tfrac3x2

Passo 6

Da relação acima
yl(1 - M,e^tfrac3x2r) = tfrac32 Longrightarrow y(x) = tfrac321 - M,e^tfrac3x2
Em x=0, y(0)=-tfrac12
-tfrac12 = tfrac321 - M Longrightarrow 1 - M = -3 Longrightarrow M = 4

Resposta

boxed,y(x) = tfrac321 - 4,e^tfrac3x2,

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