Calcule as integrais:
If=integral 2 x-7raiz3-6 x-9 x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
If=integral 2x-7raiz3-6x-9x^2,dx
O conteúdo aqui é integração de uma razão onde o denominador é raiz de uma quadrática. Vamos usar completar o quadrado e substituições padrão (substituição linear e integral do tipo integral u/raiza^2-u^2,du e integral1/raiza^2-u^2,du).

Passo 2

Completar o quadrado na expressão dentro da raiz:
3-6x-9x^2 =-9l(x^2+tfrac23x-tfrac13r) =-9l[(x+tfrac13)^2-tfrac49r] =4-9,(x+tfrac13)^2
Logo
raiz3-6x-9x^2 =raiz4-9,(x+tfrac13)^2

Passo 3

Fazemos a mudança de variável
t = x+tfrac13, dx = dt
O numerador fica
2x-7 = 2l(t-tfrac13r)-7 = 2t-tfrac23-7 = 2t-tfrac233
Assim a integral vira
integral 2t-tfrac233raiz4-9t^2,dt

Passo 4

Separamos em dois termos:
integral 2traiz4-9t^2,dt ;-;233integral 1raiz4-9t^2,dt

Passo 5

1. Para integral 2traiz4-9t^2,dt, use u=4-9t^2, du=-18t,dt. Então
integral 2traiz4-9t^2,dt =-19integral duraizu =-29raizu =-29raiz4-9t^2
2. Para integral 1raiz4-9t^2,dt, reconhecemos a forma integral duraiza^2-u^2=arcsin(ua). Com u=3t, du=3,dt, a=2, obtemos
integral 1raiz4-9t^2,dt =13arcsin!(3t2)
Multiplicando por -tfrac233
-233cdot13arcsin!(3t2) =-239arcsin!(3t2)

Passo 6

Voltando a x:
raiz4-9t^2=raiz3-6x-9x^2, 3t=3x+1
Logo a primitiva geral é
If =-29raiz3-6x-9x^2 ;-;239arcsin!l(3x+12r) +C

Resposta

-29raiz3-6x-9x^2 ;-;239arcsin!l(3x+12r) ;+;C

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