8.2H Em cada caso abaixo, calcule o comprimento do arco indicado:
(e) lx=cos 2 t y=sen^2 t, 0 <= t <= pi

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
x=cos 2t, y=sin^2t, 0<= t<=pi
e pede o comprimento de arco. Vamos usar a fórmula de comprimento de curva paramétrica, que exige as derivadas de x e y em relação a t.

Passo 2

Calculamos as derivadas
dxdt=ddt(cos 2t)=-2sin 2t, dydt=ddt(sin^2t)=2sin tcos t=sin 2t

Passo 3

O integrando da fórmula de comprimento é
raizl(dxdtr)^2+l(dydtr)^2 =raiz(-2sin 2t)^2+(sin 2t)^2 =raiz4sin^22t+sin^22t =raiz5,l|sin 2tr|

Passo 4

Logo o comprimento L é
L=integral0^piraiz5,l|sin 2tr|,dt =raiz5integral0^pil|sin 2tr|,dt
No intervalo 0<= t<=pi, o período de sin2t é pi, e a área absoluta de um arco é
integral0^pil|sin 2tr|,dt =2integral0^pi/2sin2t,dt

Passo 5

Calculando
integral0^pi/2sin2t,dt =l[-tfrac12cos2tr]0^pi/2 =-tfrac12l(cospi-cos0r) =-tfrac12(-1-1)=1
Logo
integral0^pil|sin2tr|,dt=2cdot1=2,
e
L=raiz5times 2=2raiz5

Resposta

L=2raiz5

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