O conteúdo envolvido é integração de funções racionais. Para resolver, vamos usar divisão de polinômios (quando o grau do numerador grau do denominador) e depois decomposição em frações parciais.
Passo 2
Primeiro fazemos a divisão de polinômios:
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Passo 3
Agora decompondo
Multiplicando ambos os lados por , obtemos
Comparando coeficientes:
Portanto
2x^2 + x + 1x,(4x^2 - 1) = -1x ;+; 6x + 14x^2 - 1
Passo 4
Substituindo de volta em Ig:
Ig = x + integrall(-1x + 6x + 14x^2 - 1r),dx = x - integral 1x,dx + integral 6x4x^2 - 1,dx + integral 14x^2 - 1,dx
1) integral 1x,dx = lnlvert xrvert 2) Para integral 6x4x^2 - 1,dx, use u = 4x^2-1, du = 8x,dx:
integral 6x4x^2-1,dx = 68integral duu = 34lnlvert 4x^2-1rvert
3) Para integral 14x^2-1,dx, note que
14x^2-1 = 12l(12x-1 - 12x+1r),
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integral 14x^2-1,dx = 12l(12lnlvert 2x-1rvert - 12lnlvert 2x+1rvertr) = 14lnllvert2x-12x+1rrvert
Passo 5
Somando tudo e simplificando os logaritmos, usando lnlvert4x^2-1rvert = lnlvert2x-1rvert + lnlvert2x+1rvert, obtemos
Ig = x - lnlvert xrvert + 34l[lnlvert2x-1rvert + lnlvert2x+1rvertr] + 14l[lnlvert2x-1rvert - lnlvert2x+1rvertr] + C
Ig = x - lnlvert xrvert + lnlvert2x-1rvert + tfrac12,lnlvert2x+1rvert + C
Resposta
boxed Ig = x - lnlvert xrvert + lnlvert2x-1rvert + tfrac12,lnlvert2x+1rvert + C