Calcule as integrais:
Ig=integral 4 x^3+2 x^2+14 x^3-x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
Ig = integral 4x^3 + 2x^2 + 14x^3 - x,dx
O conteúdo envolvido é integração de funções racionais. Para resolver, vamos usar divisão de polinômios (quando o grau do numerador >= grau do denominador) e depois decomposição em frações parciais.

Passo 2

Primeiro fazemos a divisão de polinômios:
4x^3 + 2x^2 + 14x^3 - x = 1 ;+; (4x^3 + 2x^2 + 1) - (4x^3 - x)4x^3 - x = 1 ;+; 2x^2 + x + 14x^3 - x
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Ig = integral 1,dx ;+; integral 2x^2 + x + 1x,(4x^2 - 1),dx = x ;+; integral 2x^2 + x + 1x,(4x^2 - 1),dx

Passo 3

Agora decompondo
2x^2 + x + 1x,(4x^2 - 1) = Ax ;+; Bx + C4x^2 - 1
Multiplicando ambos os lados por x(4x^2-1), obtemos
2x^2 + x + 1 = A,(4x^2-1) + (Bx + C),x = (4A + B),x^2 + C,x - A
Comparando coeficientes:
4A + B = 2, C = 1, -,A = 1, Longrightarrow A = -1,; B = 6,; C = 1
Portanto
2x^2 + x + 1x,(4x^2 - 1) = -1x ;+; 6x + 14x^2 - 1

Passo 4

Substituindo de volta em Ig:
Ig = x + integrall(-1x + 6x + 14x^2 - 1r),dx = x - integral 1x,dx + integral 6x4x^2 - 1,dx + integral 14x^2 - 1,dx
1) integral 1x,dx = lnlvert xrvert 2) Para integral 6x4x^2 - 1,dx, use u = 4x^2-1, du = 8x,dx:
integral 6x4x^2-1,dx = 68integral duu = 34lnlvert 4x^2-1rvert
3) Para integral 14x^2-1,dx, note que
14x^2-1 = 12l(12x-1 - 12x+1r),
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integral 14x^2-1,dx = 12l(12lnlvert 2x-1rvert - 12lnlvert 2x+1rvertr) = 14lnllvert2x-12x+1rrvert

Passo 5

Somando tudo e simplificando os logaritmos, usando
lnlvert4x^2-1rvert = lnlvert2x-1rvert + lnlvert2x+1rvert, obtemos
Ig = x - lnlvert xrvert + 34l[lnlvert2x-1rvert + lnlvert2x+1rvertr] + 14l[lnlvert2x-1rvert - lnlvert2x+1rvertr] + C
Ig = x - lnlvert xrvert + lnlvert2x-1rvert + tfrac12,lnlvert2x+1rvert + C

Resposta

boxed Ig = x - lnlvert xrvert + lnlvert2x-1rvert + tfrac12,lnlvert2x+1rvert + C

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