8.2H Em cada caso abaixo, calcule o comprimento do arco indicado:
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede o comprimento do arco da curva paramétrica
O conteúdo necessário é a fórmula do comprimento de arco para curva paramétrica: se
, então
Passo 2
Calculamos as derivadas
Portanto o integrando fica
Passo 3
Como
muda em
, dividimos a integral em dois pedaços:
Para
temos
, e para
temos
.
Passo 4
Cálculo de
.
Use , então
ou
. Logo
Use
Passo 5
Cálculo de
.
De novo ,
, assim
. Os limites em
vão de
até
. Então
De novo
Passo 6
Somando as duas parcelas, usando
, obtemos