8.2H Em cada caso abaixo, calcule o comprimento do arco indicado:
(a) lx=t^3 y=t^2,-1 <= t <= 3

Passo 1

O enunciado pede o comprimento do arco da curva paramétrica
x(t)=t^3, y(t)=t^2, -1<= t<=3
O conteúdo necessário é a fórmula do comprimento de arco para curva paramétrica: se gamma(t)=(x(t),y(t)), então
L=integralt1^t2raizl(x'(t)r)^2+l(y'(t)r)^2,dt

Passo 2

Calculamos as derivadas
x'(t)=3t^2, y'(t)=2t
Portanto o integrando fica
raiz(3t^2)^2+(2t)^2 =raiz9t^4+4t^2 =raizt^2,(9t^2+4) =|t|raiz9t^2+4

Passo 3

Como |t| muda em t=0, dividimos a integral em dois pedaços:
L=integral-1^0|t|raiz9t^2+4,dt +integral0^3|t|raiz9t^2+4,dt
Para tin[0,3] temos |t|=t, e para tin[-1,0] temos |t|=-t.

Passo 4

Cálculo de integral0^3traiz9t^2+4,dt.
Use u=9t^2+4, então du=18t,dt ou t,dt=tfrac118du. Logo
integral0^3traiz9t^2+4,dt =integralu(0)=4^u(3)=85raizu,du18 =118cdot23l[u^3/2r]4^85 =127l(85^3/2-4^3/2r)

Passo 5

Cálculo de integral-1^0(-t)raiz9t^2+4,dt.
De novo u=9t^2+4, du=18t,dt, assim -t,dt=-tfrac118du. Os limites em u vão de u(-1)=13 até u(0)=4. Então
integral-1^0(-t)raiz9t^2+4,dt =-118integral13^4u^1/2du =118integral4^13u^1/2du =127l(13^3/2-4^3/2r)

Passo 6

Somando as duas parcelas, usando 4^3/2=8, obtemos
L =127l(13^3/2-8r) +127l(85^3/2-8r) =127l(13raiz13+85raiz85-16r)

Resposta

L=127l(13raiz13+85raiz85-16r)

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