Alguns tipos especiais de equações de segunda ordem podem, após uma mudança de variável, ser reduzidas a uma outra equação de primeira ordem e então resolvidas pelos métodos conhecidos.
  • Método da redução de ordem I - Variável Dependente Ausente: Se na equação y não estiver presente (somente suas derivadas), fazemos z=y^prime e obtemos uma equação de primeira ordem.
    Exemplo: Fazendo z=y^prime na equação x y^prime prime-y^prime=3 x^2 temos a equação x z^prime-z=3 x^2
  • Método da redução de ordem II - Variável Independente Ausente: Se na equação x não estiver presente (somente y e suas derivadas), fazemos u=y^prime=d yd x, donde
y^prime prime=u^prime=d ud x=d ud y d yd x=u d ud y
e então obtemos duas equações de primeira ordem.
Exemplo: Fazendo isso na equação y^prime prime+y=0 temos as equações u d ud y+y=0, que resolvemos para u(y), e u=d yd x, que permite encontrar y(x), depois de determinada u(y) square
Resolva, com essas técnicas, as seguintes equações diferenciais e problemas de valor inicial.
y^prime prime+4 y=0 ; y^prime prime-9 y=0 ; y y^prime prime+(y^prime)^2=0;

Passo 1

O enunciado pede para resolver três EDOs de segunda ordem usando as técnicas de redução de ordem apresentadas:
  • Se a variável independente x estiver ausente (isto é, a equação depende apenas de y e de y'), usamos a redução de ordem II, definindo
u = y' , y'' = u,dudy
e reduzimos a uma equação de primeira ordem em u(y).
  • Se a variável dependente y estiver ausente (isto é, a equação depende apenas de x, de y' e de y''), usamos a redução de ordem I, definindo
z = y' , z' = y''
e obtemos uma EDO de primeira ordem em z(x).
Nenhuma das três equações tem y ausente, mas as duas primeiras não têm x explícito, então aplicaremos o método II nelas; e a terceira também não tem x explícito, então usaremos novamente o método II.

Passo 2

Resolver
y'' + 4y = 0
como x ausente. Defina u = y', de modo que
y'' = u,dudy
Substituindo na equação original obtém-se
u,dudy + 4y = 0
Isto é separável em u e y:
u,du = -4y,dy
Integramos:
u^22 = -2y^2 + C1 Longrightarrow u^2 = -4y^2 + C1
Como u = dydx, temos
dydx = pmraizC1 - 4y^2,
logo
integral dyraizC1 - 4y^2 = pm integral dx
Sabendo que
integral dyraiza^2 - y^2 = arcsin!l(y/ar),
fazendo a = raizC1/2 obtemos
arcsin!l(2yraizC1r) = pm 2x + C2
Portanto
y = raizC12,sin!l(pm 2x + C2r),
e, renomeando constantes, a solução geral fica
boxedy(x) = Acos(2x) + Bsin(2x)

Passo 3

Resolver
y'' - 9y = 0
também com x ausente. De novo u = y' e y'' = u,du/dy leva a
u,dudy - 9y = 0 Longrightarrow u,du = 9y,dy Longrightarrow u^2 = 9y^2 + C3
Logo
dydx = u = pmraiz9y^2 + C3,
e
integral dyraiz9y^2 + C3 = pm integral dx
Essa integral é do tipo integral dy/raiza^2 y^2 + b^2 e leva, após manipulações com funções hiperbólicas ou exponenciais, à forma
y(x) = C4 e^3x + C5 e^-3x
Portanto a solução geral é
boxedy(x) = D,e^3x + E,e^-3x

Passo 4

Resolver
y,y'' + (y')^2 = 0
com x ausente. Defina novamente u = y', y'' = u,du/dy. Substituindo:
yl(u,dudyr) + u^2 = 0 Longrightarrow y,u,dudy = -u^2
Se uneq0, divide-se por u e obtém-se
y,dudy = -u Longrightarrow duu = -dyy
Integrando,
ln|u| = -ln|y| + C6 Longrightarrow u = C7y
Como u = dy/dx,
dydx = C7y Longrightarrow y,dy = C7,dx Longrightarrow y^22 = C7 x + C8
Chamando A = 2C7, B = 2C8, obtemos
boxedy^2 = A,x + B,
que é a solução implícita geral.

Resposta

y’’ + 4y = 0 \Rightarrow y(x) = A\cos(2x) + B\sin(2x).)
y'' - 9y = 0 Rightarrow y(x) = D,e^3x + E,e^-3x
y y'' + (y')^2 = 0 Rightarrow y^2 = Ax + B

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