Alguns tipos especiais de equações de segunda ordem podem, após uma mudança de variável, ser reduzidas a uma outra equação de primeira ordem e então resolvidas pelos métodos conhecidos.
- Método da redução de ordem I - Variável Dependente Ausente: Se na equação y não estiver presente (somente suas derivadas), fazemos
e obtemos uma equação de primeira ordem.
Exemplo: Fazendo
na equação
temos a equação
- Método da redução de ordem II - Variável Independente Ausente: Se na equação
não estiver presente (somente
e suas derivadas), fazemos
, donde
e então obtemos duas equações de primeira ordem.
Exemplo: Fazendo isso na equação
temos as equações
, que resolvemos para
, e
, que permite encontrar
, depois de determinada
Resolva, com essas técnicas, as seguintes equações diferenciais e problemas de valor inicial.
;
Exemplo: Fazendo
Exemplo: Fazendo isso na equação
Resolva, com essas técnicas, as seguintes equações diferenciais e problemas de valor inicial.
Passo 1
O enunciado pede para resolver três EDOs de segunda ordem usando as técnicas de redução de ordem apresentadas:
- Se a variável independente
estiver ausente (isto é, a equação depende apenas de e de ), usamos a redução de ordem II, definindo
e reduzimos a uma equação de primeira ordem em
.
- Se a variável dependente
estiver ausente (isto é, a equação depende apenas de , de e de ), usamos a redução de ordem I, definindo
e obtemos uma EDO de primeira ordem em
.
Nenhuma das três equações tem ausente, mas as duas primeiras não têm
explícito, então aplicaremos o método II nelas; e a terceira também não tem
explícito, então usaremos novamente o método II.
Nenhuma das três equações tem
Passo 2
Resolver
como
ausente. Defina
, de modo que
Substituindo na equação original obtém-se
Isto é separável em
e
:
Integramos:
Como
, temos
logo
Sabendo que
fazendo
obtemos
Portanto
e, renomeando constantes, a solução geral fica
Passo 3
Resolver
também com
ausente. De novo
e
leva a
Logo
e
Essa integral é do tipo
e leva, após manipulações com funções hiperbólicas ou exponenciais, à forma
Portanto a solução geral é
Passo 4
Resolver
com
ausente. Defina novamente
,
. Substituindo:
Se
, divide-se por
e obtém-se
Integrando,
Como
,
Chamando
,
, obtemos
que é a solução implícita geral.
Resposta
y’’ +
y = 0 \Rightarrow y(x) = A\cos(2x) + B\sin(2x).)