5.2H Certo material radioativo decai a uma taxa proporcional à quantidade presente. Se inicialmente há 100 miligramas e se, após dois anos, 5 % do material decaiu, determine (a) a expressão para a massa m(t) em um instante t e (b) o tempo necessário para o decaimento de 10 % do material.

Passo 1

O enunciado trata do decaimento radioativo, em que a taxa de variação da massa é proporcional à massa presente. Precisamos (a) achar a função m(t) que descreve esse decaimento exponencial e (b) determinar o tempo para que 10% do material decaia. O conteúdo envolve resolver a equação diferencial de primeira ordem
dmdt=-k,m

Passo 2

Escrevemos a equação diferencial
dmdt=-k,m
A solução geral é
m(t)=C,e^-k t
Como inicialmente há 100 mg, impomos m(0)=100, o que dá C=100. Logo
m(t)=100,e^-k t

Passo 3

Usamos a condição de que após 2 anos 5% do material decaiu, ou seja m(2)=95 mg. Então
100,e^-2k=95 Longrightarrow e^-2k=0,95 Longrightarrow -2k=ln(0,95) Longrightarrow k=-tfrac12ln(0,95)

Passo 4

Substituindo k em
m(t)=100,e^-k t
obtém-se
m(t) =100expl(-l(-tfrac12ln(0,95)r)tr) =100expl(tfract2ln(0,95)r)

Passo 5

Para decair 10% do material restam 90 mg, ou seja
100,e^-k t=90 Longrightarrow e^-k t=0,9 Longrightarrow -,k,t=ln(0,9) Longrightarrow t=-1kln(0,9)
Substituindo k=-tfrac12ln(0,95) resulta
t=2ln(0,9)ln(0,95)approx 4,11

Resposta

(a) m(t)=100,e^-k t, k=-tfrac12ln(0,95)
(b) t=2ln(0,9)ln(0,95)approx 4,11 anos.

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