5.2H Certo material radioativo decai a uma taxa proporcional à quantidade presente. Se inicialmente há 100 miligramas e se, após dois anos,
do material decaiu, determine (a) a expressão para a massa
em um instante
e (b) o tempo necessário para o decaimento de
do material.
Passo 1
O enunciado trata do decaimento radioativo, em que a taxa de variação da massa é proporcional à massa presente. Precisamos (a) achar a função
que descreve esse decaimento exponencial e (b) determinar o tempo para que
do material decaia. O conteúdo envolve resolver a equação diferencial de primeira ordem
Passo 2
Escrevemos a equação diferencial
A solução geral é
Como inicialmente há
mg, impomos
, o que dá
. Logo
Passo 3
Usamos a condição de que após
anos
do material decaiu, ou seja
mg. Então
Passo 4
Substituindo
em
obtém-se
Passo 5
Para decair
do material restam
mg, ou seja
Substituindo
resulta
Resposta
(a)
(b)
anos.