Exercício 23. Seja f: R^2 longrightarrow R, f(x, y)=(y-x^2)(y-2 x^2). Prove que a origem é um ponto de mínimo local para a restrição de f a qualquer reta passando pela origem, mas não é um ponto de mínimo local para f.
Dica: Examine os sinais assumidos por f.

Passo 1

O enunciado define a função
fcolon R^2 to R, f(x,y) = l(y - x^2r)l(y - 2x^2r),
e pede para mostrar duas coisas:
  1. Para toda reta que passa pela origem, a restrição de f a essa reta tem mínimo local na origem.
  2. No entanto, f não tem mínimo local na origem quando considerada em R^2 inteiro.
    O conteúdo envolve analisar sinais de f em direções específicas e usar parametrizações de retas e curvas.

Passo 2

Para estudar a restrição de f a uma reta qualquer que passe pela origem, escolhemos uma reta de coeficiente angular m, dada por
y = m x
Parametrizando por t, temos (x,y)=(t,,m t). Substituindo em f
fl(t,,m tr) = l(m t - t^2r)l(m t - 2t^2r) = t^2,(m - t),(m - 2t)

Passo 3

Agora analisamos o sinal de
g(t) = t^2,(m - t),(m - 2t)
perto de t=0. Como t^2>=0 e ,m - tto m, ,m - 2tto m quando tto0, existem de<a>0 tais que, para |t|<de<a, os fatores (m-t) e (m-2t) têm o mesmo sinal de m. Logo
g(t)>=0para (|t|) suficientemente pequeno, e g(0)=0
Isso mostra que, em qualquer reta passando pela origem, a origem é ponto de mínimo local da função restrita.

Passo 4

Para ver que a origem não é mínimo local de f em R^2, basta encontrar caminhos pelos quais f fica negativa arbitrariamente perto de (0,0). Tomemos a parábola
y = tfrac32,x^2
Então
fl(x,,tfrac32x^2r) = l(tfrac32x^2 - x^2r)l(tfrac32x^2 - 2x^2r) = l(tfrac12x^2r)l(-tfrac12x^2r) = -tfrac14,x^4
Para xneq0 pequeno, isto é negativo. Portanto, em qualquer vizinhança de (0,0) existem pontos onde f<0, mostrando que a origem não é ponto de mínimo local de f em toda a vizinhança.

Resposta

A origem é mínimo local na restrição de f a qualquer reta passando pela origem, mas não é mínimo local de f em R^2.

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