Exercício 23. Seja
. Prove que a origem é um ponto de mínimo local para a restrição de
a qualquer reta passando pela origem, mas não é um ponto de mínimo local para
.
Dica: Examine os sinais assumidos por
.
Passo 1
O enunciado define a função
e pede para mostrar duas coisas:
- Para toda reta que passa pela origem, a restrição de
a essa reta tem mínimo local na origem. - No entanto,
não tem mínimo local na origem quando considerada em inteiro.
O conteúdo envolve analisar sinais deem direções específicas e usar parametrizações de retas e curvas.
Passo 2
Para estudar a restrição de
a uma reta qualquer que passe pela origem, escolhemos uma reta de coeficiente angular
, dada por
Parametrizando por
, temos
. Substituindo em
dá
Passo 3
Agora analisamos o sinal de
perto de
. Como
e
,
quando
, existem
tais que, para
, os fatores
e
têm o mesmo sinal de
. Logo
Isso mostra que, em qualquer reta passando pela origem, a origem é ponto de mínimo local da função restrita.
Passo 4
Para ver que a origem não é mínimo local de
em
, basta encontrar caminhos pelos quais
fica negativa arbitrariamente perto de
. Tomemos a parábola
Então
Para
pequeno, isto é negativo. Portanto, em qualquer vizinhança de
existem pontos onde
, mostrando que a origem não é ponto de mínimo local de
em toda a vizinhança.
Resposta
A origem é mínimo local na restrição de
a qualquer reta passando pela origem, mas não é mínimo local de
em
.