Questão 5. Disserte sobre o tema Diagonalização de Operadores. Nesta questão, sugerimos que sejam abordados os seguintes tópicos:
Definição, exemplos, justificativa para os operadores simétricos serem diagonalizáveis.
Passo 1
O enunciado pede uma discussão sobre diagonalização de operadores lineares em espaços vetoriais de dimensão finita, incluindo (i) definição de operador diagonalizável, (ii) exemplos de operadores que são ou não são diagonalizáveis e (iii) justificativa de por que operadores simétricos (num espaço real com produto interno) são sempre diagonalizáveis.
Passo 2
Definimos um operador linear num espaço vetorial de dimensão finita. Dizemos que é diagonalizável se existir uma base de formada por autovetores de . Em termos de matriz, isto equivale a encontrar uma matriz invertível tal que
é uma matriz diagonal. As entradas de são os autovalores de .
Passo 3
Como exemplo simples, considere o operador em dado por
Aqui já vemos que a base canônica é de autovetores e portanto T é diagonal com D=[T]. Em contraste, o operador de rotação de 90^circ em R^2,
[T] = 0 & -1 1 & 0,
não tem autovetores reais (os autovalores são pm i), logo não é diagonalizável sobre R.
Passo 4
Em geral, para cada autovalor lambda de T definimos sua multiplicidade algébrica (multiplicidade de lambda como raiz do polinômio característico) e sua multiplicidade geométrica (dimensão do espaço próprio ker(T-lambda I)). O teorema fundamental diz que T é diagonalizável se, e somente se, para todo autovalor lambda as multiplicidades algébrica e geométrica coincidirem.
Passo 5
Agora, num espaço real com produto interno lang<=cdot,cdotrang<=, um operador T é simétrico se
lang<= T(u),vrang<= = lang<= u, T(v)rang<=
para todos u,v. Dois fatos chave valem aqui: (i) todos os autovalores de um operador simétrico são reais e (ii) autovetores associados a autovalores distintos são ortogonais entre si.
Passo 6
Com esses fatos, construímos uma base ortonormal de autovetores: primeiro escolhemos uma base ortonormal em cada espaço próprio e depois reunimos essas bases, mantendo a ortogonalidade entre espaços próprios distintos. A união delas forma uma matriz ortogonal P que diagonaliza T, isto é,
P^-1[T]P = P^T[T]P = D
com D real e diagonal. Este é o enunciado do Teorema Espectral para matrizes simétricas.
Resposta
Um operador linear T é diagonalizável quando possui base de autovetores, o que acontece exatamente se a multiplicidade geométrica de cada autovalor iguala sua multiplicidade algébrica. Exemplos mostram casos positivos (matriz diagonal) e negativos (rotação em R^2). Num espaço real com produto interno, operadores simétricos têm autovalores reais e autovetores ortogonais, de modo que admitam uma base ortonormal de autovetores e sejam sempre diagonalizáveis (Teorema Espectral).