Questão 6. (0,5) Prove que a sequência (an) subset R, definida por an=n!(2 n+1)!, para todo n in N, é convergente. A seguir, determine lim an, justificando.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a sequência
an = n!(2n+1)!, ninN,
é convergente e determinar o seu limite. O conteúdo envolvido é limite de sequência, fatoriais e o uso do Teorema do Confronto (ou “Squeeze Theorem”) para sequências não negativas.

Passo 2

Reescrevemos o termo geral explorando a definição de fatorial:
(2n+1)! = (2n+1),(2n),cdots,(n+1),cdot n!,
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an = n!(2n+1)! = 1(n+1)(n+2)cdots(2n+1)

Passo 3

Note que, para todo k com n+1<= k<=2n+1, vale k>= n+1. Assim
(n+1)(n+2)cdots(2n+1);>=;(n+1)^,n+1
Como an>0, temos
0 < an <= 1(n+1)^,n+1

Passo 4

Sabemos que
limntoinfty1(n+1)^,n+1 = 0
Pelo Teorema do Confronto, segue
limntoinftyan = 0

Resposta

limntoinftyan=0.

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