1.2H Determine o sup e o inf das seguintes seqüências:
Passo 1
O enunciado pede para determinar o supremo (
) e o ínfimo (
) de várias sequências, assunto de análise de limites e de monotonia. Vamos supor que cada sequência
esteja definida para
, começando em
. A ideia é estudar ordem, limites e comportamento de cada termo.
Passo 2
Sequência
com
Para
,
. Para
,
fica negativo e tende a
conforme
. Logo o maior valor ocorre em
e os termos não têm limite inferior finito.
Passo 3
Sequência
com
Calculando alguns termos:
,
,
, e depois decresce até
. Assim o valor máximo é
(atingido em
) e o menor limite de acumulação é
.
Passo 4
Sequência
com
Para
,
. Para
,
. A partir de
ela decresce positivamente até
. O maior termo é
e o menor é
.
Passo 5
Sequência
com
Temos
e, para
,
crescendo monotonicamente. Nunca atinge
, mas é o menor limite superior, e o valor mínimo é
.
Passo 6
Sequência
com
Para
,
, e
cresce sem limite quando
. Não há limite superior finito, e o menor valor é
.
Passo 7
Sequência
com
Para
,
. À medida que
,
aumentando. Assim
Passo 8
Sequência
com
Os termos alternam e em módulo crescem sem limite: para
par
, para
ímpar
. Não há cotas finitas.
Resposta
Para cada sequência
definidas acima, temos: