1.2H Determine o sup e o inf das seguintes seqüências:
-n^2+n,2^nn!,23 n-4,1-1n,ln n,3 n^2n^2+n,(-2)^n

Passo 1

O enunciado pede para determinar o supremo ( sup) e o ínfimo ( inf) de várias sequências, assunto de análise de limites e de monotonia. Vamos supor que cada sequência an esteja definida para ninN, começando em n=1. A ideia é estudar ordem, limites e comportamento de cada termo.

Passo 2

Sequência an com
an = -n^2 + n
Para n=1, a1=0. Para n>=2, an fica negativo e tende a -infty conforme ntoinfty. Logo o maior valor ocorre em n=1 e os termos não têm limite inferior finito.
supan = 0, infan = -infty

Passo 3

Sequência bn com
bn = 2^nn!
Calculando alguns termos: b1=2, b2=2, b3=tfrac86<2, e depois decresce até 0. Assim o valor máximo é 2 (atingido em n=1,2) e o menor limite de acumulação é 0.
supbn = 2, infbn = 0

Passo 4

Sequência cn com
cn = 23n-4
Para n=1, c1 = 2-1 = -2. Para n=2, c2 = 1. A partir de n>=2 ela decresce positivamente até 0. O maior termo é c2=1 e o menor é c1=-2.
supcn = 1, infcn = -2

Passo 5

Sequência dn com
dn = 1 - 1n
Temos d1=0 e, para ntoinfty, dnto1 crescendo monotonicamente. Nunca atinge 1, mas é o menor limite superior, e o valor mínimo é 0.
supdn = 1, infdn = 0

Passo 6

Sequência en com
en = ln n
Para n=1, e1=0, e ln n cresce sem limite quando ntoinfty. Não há limite superior finito, e o menor valor é 0.
supen = +infty, infen = 0

Passo 7

Sequência fn com
fn = 3n^2n^2+n = 31+tfrac1n
Para n=1, f1=tfrac32. À medida que ntoinfty, fnto3 aumentando. Assim
supfn = 3, inffn = tfrac32

Passo 8

Sequência gn com
gn = (-2)^n
Os termos alternam e em módulo crescem sem limite: para n par gn>0to+infty, para n ímpar gn<0to-infty. Não há cotas finitas.
supgn = +infty, infgn = -infty

Resposta

Para cada sequência an,bn,cn,dn,en,fn,gn definidas acima, temos:
sup-n^2+n &= 0, &inf-n^2+n &= -infty, suptfrac2^nn! &= 2, &inftfrac2^nn! &= 0, suptfrac23n-4 &= 1, &inftfrac23n-4 &= -2, sup1-tfrac1n &= 1, &inf1-tfrac1n &= 0, supln n &= +infty, &infln n &= 0, suptfrac3n^2n^2+n &= 3, &inftfrac3n^2n^2+n &= tfrac32, sup(-2)^n &= +infty, &inf(-2)^n &= -infty

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