3.2I Calcule a área da região no primeiro quadrante delimitada pelas retas
e
e pela curva
Passo 1
O enunciado pede a área da região em primeiro quadrante limitada pelas quatro curvas:
– a reta inferior (eixo-
),
– a reta “diagonal” ,
– a reta vertical ,
– o ramo da hipérbole (ou
).
Para entender melhor, vemos onde a reta corta a hipérbole: basta resolver
– a reta inferior
– a reta “diagonal”
– a reta vertical
– o ramo da hipérbole
Para entender melhor, vemos onde a reta
Esse ponto de interseção é
.
Passo 2
Desenhando ou pensando no gráfico, essa região é fechada por quatro trechos:
- de
a ao longo de , - de
a ao longo da curva , - de
a pela reta , - de
de volta a pela reta .
Para calcular a área, é mais fácil partir do eixoe dividir em dois “pedaços” na abscissa .
Passo 3
Para
, a região fica entre a curva inferior
e a superior
.
Para , a região fica entre
e
.
Logo a área total é
Para
Logo a área total é
Passo 4
Calcule cada integral: