3.2I Calcule a área da região no primeiro quadrante delimitada pelas retas y=x, y=0 e x=8 e pela curva x y=16

Passo 1

O enunciado pede a área da região em primeiro quadrante limitada pelas quatro curvas:
– a reta inferior y=0 (eixo- x),
– a reta “diagonal” y=x,
– a reta vertical x=8,
– o ramo da hipérbole xy=16 (ou y=16/x).
Para entender melhor, vemos onde a reta y=x corta a hipérbole: basta resolver
xcdot x=16Longrightarrow x^2=16Longrightarrow x=4;(só consideramos x>0) ó
Esse ponto de interseção é (4,4).

Passo 2

Desenhando ou pensando no gráfico, essa região é fechada por quatro trechos:
  • de (0,0) a (4,4) ao longo de y=x,
  • de (4,4) a (8,2) ao longo da curva y=16/x,
  • de (8,2) a (8,0) pela reta x=8,
  • de (8,0) de volta a (0,0) pela reta y=0.
    Para calcular a área, é mais fácil partir do eixo x e dividir em dois “pedaços” na abscissa x=4.

Passo 3

Para 0<= x<=4, a região fica entre a curva inferior y=0 e a superior y=x.
Para 4<= x<=8, a região fica entre y=0 e y=16/x.
Logo a área total é
A=integralx=0^4 l(x-0r),dx ;+;integralx=4^8l(tfrac16x-0r),dx

Passo 4

Calcule cada integral:
integral0^4 x,dx =l[tfracx^22r]0^4 =tfrac4^22-0 =8,
integral4^816x,dx =16l[ln xr]4^8 =16l(ln 8-ln 4r) =16ln!tfrac84 =16ln2

Resposta

boxedA = 8 ;+;16,ln2

Exercícios relacionados