3.2A Por integração dupla calcule a área de um círculo de raio R e da elipse de semi-eixos a e b

Passo 1

O enunciado pede para calcular, por integração dupla, a área de
  1. um círculo de raio R, e
  2. uma elipse de semi-eixos a e b.
    Vamos usar coordenadas polares para o círculo e uma transformação linear para a elipse.

Passo 2

Para o círculo, o domínio é
D = (x,y)mid x^2+y^2 <= R^2
Em coordenadas polares definimos x = rcostheta, y = rsintheta. O elemento de área vira dA = r,dr,dtheta e as variáveis percorrem 0<= r<= R, 0<= theta<= 2pi. Logo,
Áreacírculo = integral duplaDdA = integraltheta=0^2piintegralr=0^R r,dr,dtheta = integral0^2pigl[tfracr^22gr]0^Rdtheta = integral0^2pitfracR^22,dtheta = pi R^2 Áí

Passo 3

Para a elipse, o domínio é
E = l(x,y)mid x^2a^2+y^2b^2<=1r
Fazemos a mudança de variáveis
u = xa, v = yb,
de modo que u^2+v^2<=1 (o disco unitário). O jacobiano dessa transformação é
l|det Jr| = partial x/partial u & partial x/partial v partial y/partial u & partial y/partial v = a & 00 & b = ab
Portanto,
Áreaelipse = integral duplaEdA = integral duplau^2+v^2<=1 ab,du,dv = ab;l(área do disco unitárior) = abcdotpi Ááá

Resposta

A área do círculo é pi R^2.
A área da elipse é pi a b.

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