3.2F Identifique a região D do plano x y cuja área vem dada pela expressão:
A(D)=integral-pi / 2^pi / 2 integral1^1+cos theta r d r d theta
e calcule o valor da área

Passo 1

O enunciado nos dá a área de uma região D em coordenadas polares por
A(D)=integral-pi/2^pi/2integral1^1+costhetar,dr,dtheta
Queremos (1) identificar geometricamente D no plano xy e (2) calcular A(D).

Passo 2

Em coordenadas polares, a descrição de D é imediata:
D=l(r,theta)mid -tfracpi2<=theta<=tfracpi2,;1<= r<=1+costhetar
Isso significa que D fica entre o círculo de raio 1 (curva r=1) e o limacon r=1+costheta, variando theta de -pi/2 a pi/2.

Passo 3

Vamos calcular primeiro a integral em r:
integral1^1+costhetar,dr =r^22|1^,1+costheta =(1+costheta)^2-12 =2costheta+cos^2theta2

Passo 4

Substituindo em A(D) e usando cos^2theta=tfrac1+cos2theta2,
A(D) =integral-pi/2^pi/22costheta+1+cos2theta22,dtheta =12integral-pi/2^pi/2l(2costheta+tfrac12+tfraccos2theta2r),dtheta

Passo 5

Integramos termo a termo:
integral2costheta,dtheta=2sintheta, integraltfrac12,dtheta=tfractheta2, integraltfraccos2theta2,dtheta=sin2theta4
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A(D) =12l[2sintheta+tfractheta2+tfracsin2theta4r]-pi/2^pi/2 =12l(2+tfracpi2r) =1+pi4

Resposta

A região D é
D=(r,theta)mid -tfracpi2<=theta<=tfracpi2,;1<= r<=1+costheta,
e sua área é
A(D)=1+pi4

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