3.4A Calcule as seguintes integrais impróprias:
(a) integral duplax^2+y^2 <= 1 d x d yraizx^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria da função sobre o disco de raio 1 centrado na origem, ou seja\r
\r
O ponto de singularidade está em , então vamos tratar a região como imprópria. Para esse tipo de integral em regiões circulares, o método mais eficiente é usar coordenadas polares.

Passo 2

Em coordenadas polares definimos \r
x=rcostheta, \r
y=rsintheta, \r
com jacobiano dx,dy=r,dr,dtheta. A função torna-se \r
1raizx^2+y^2=1r. \r
Assim o integrando fica \r
1rcdot r,dr,dtheta = dr,dtheta, \r
e a região x^2+y^2<=1 vira 0<= r<=1, 0<=theta<=2pi.

Passo 3

Substituindo na integral obtemos \r

Resposta

2pi

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