Se z_{1}=2+i, z_{2}=3-2 i e z_{3}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i, calcule o valor das expressões
\left|\frac{2 z_{2}+z_{1}-5-i}{2 z_{1}-z_{2}+3-i}\right|^{2}.

Passo 1

O enunciado dá os números complexos \;z_{1}=2+i,\;z_{2}=3-2i,\;z_{3}=-\tfrac12+\tfrac{\sqrt3}{2}i
e pede o valor de
\left|\frac{2z_{2}+z_{1}-(5+i)}{2z_{1}-z_{2}+(3-i)}\right|^{2}.
O conteúdo é álgebra de números complexos e propriedades de módulo, em particular
\left|\frac{a}{b}\right|^{2}=\frac{|a|^{2}}{|b|^{2}}.

Passo 2

Calculamos o numerador
N = 2z_{2}+z_{1}-(5+i).
Substituindo z_{1}=2+i e z_{2}=3-2i, temos
N = 2(3-2i)+(2+i)-(5+i) = (6-4i)+(2+i)-(5+i) = (6+2-5)+(-4i+i-i) = 3 - 4i.

Passo 3

Calculamos o denominador
D = 2z_{1}-z_{2}+(3-i).
Substituindo, obtemos
D = 2(2+i)-(3-2i)+(3-i) = (4+2i)-(3-2i)+(3-i) = (4-3+3)+(2i+2i-i) = 4 + 3i.

Passo 4

Usamos que
\bigl|3-4i\bigr|^{2} = 3^{2}+(-4)^{2} = 9+16 = 25, \quad \bigl|4+3i\bigr|^{2} = 4^{2}+3^{2} = 16+9 = 25.
Portanto
\left|\frac{N}{D}\right|^{2} = \frac{|N|^{2}}{|D|^{2}} = \frac{25}{25} =1.

Resposta

1

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