Se z_{1}=2+i, z_{2}=3-2 i e z_{3}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i, calcule o valor das expressões
\left(\overline{z_{3}}\right)^{4}

Passo 1

O enunciado dá o número complexo
z_{3} = -\tfrac{1}{2} + \tfrac{\sqrt{3}}{2}\,i
e pede para calcular (\overline{z_{3}})^{4}. O conteúdo aqui é uso de conjugação de complexos e do Teorema de De Moivre.

Passo 2

Primeiro achamos o conjugado:
\overline{z_{3}} = -\tfrac{1}{2} - \tfrac{\sqrt{3}}{2}\,i.

Passo 3

Repare que
z_{3} = \cos\!\bigl(\tfrac{2\pi}{3}\bigr) + i\,\sin\!\bigl(\tfrac{2\pi}{3}\bigr),
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\overline{z_{3}} = \cos\!\bigl(\tfrac{2\pi}{3}\bigr) - i\,\sin\!\bigl(\tfrac{2\pi}{3}\bigr) = e^{-\,i\frac{2\pi}{3}}.
Aplicando De Moivre,
(\overline{z_{3}})^{4} = \bigl(e^{-\,i\frac{2\pi}{3}}\bigr)^{4} = e^{-\,i\frac{8\pi}{3}}.

Passo 4

Agora simplificamos o ângulo:
-\tfrac{8\pi}{3} + 2\pi \cdot 2 = -\tfrac{8\pi}{3} + \tfrac{12\pi}{3} = \tfrac{4\pi}{3},
então
(\overline{z_{3}})^{4} = e^{\,i\frac{4\pi}{3}} = \cos\!\bigl(\tfrac{4\pi}{3}\bigr) + i\,\sin\!\bigl(\tfrac{4\pi}{3}\bigr) = -\tfrac12 - \tfrac{\sqrt{3}}{2}\,i.

Resposta

(\overline{z_{3}})^{4} = -\tfrac12 \;-\;\tfrac{\sqrt{3}}{2}\,i.

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