Se z_{1}=2+i, z_{2}=3-2 i e z_{3}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i, calcule o valor das expressões
z_{1}^{3}-3 z_{1}^{2}+4 z_{1}-8

Passo 1

O enunciado pede para calcular
z_{1}^{3}-3\,z_{1}^{2}+4\,z_{1}-8
sabendo que z_{1}=2+i. O conteúdo é operações com números complexos (soma, produto e potenciação). Vamos primeiro achar z_{1}^{2} e z_{1}^{3}, depois fazer a combinação.

Passo 2

Calcular
z_{1}^{2}=(2+i)^{2}=2^{2}+2\cdot2\cdot i+i^{2}=4+4i-1=3+4i.

Passo 3

Calcular
z_{1}^{3}=z_{1}\cdot z_{1}^{2}=(2+i)(3+4i) =2\cdot3+2\cdot4i+i\cdot3+i\cdot4i =6+8i+3i+4\,i^{2} =6+11i-4 =2+11i.

Passo 4

Substituir em
z_{1}^{3}-3\,z_{1}^{2}+4\,z_{1}-8 \;=\;(2+11i)-3(3+4i)+4(2+i)-8.
Agora compute termo a termo:
(2+11i)-3(3+4i)=2+11i-9-12i=-7-i,
-7-i+4(2+i)=-7-i+8+4i=1+3i,
1+3i-8=-7+3i.

Resposta

-7+3i

Exercícios relacionados