1.2I Verifique se a função z=f(x, y) é contínua no ponto P0 indicado.
z=x yx^2+y^2, P0(0,0)

Passo 1

O enunciado considera a função
f(x,y)=x,yx^2+y^2
e pede para verificar se ela é contínua em P0(0,0).
Para ser contínua em (0,0) precisamos que f esteja definida em (0,0) e que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0)

Passo 2

Note que em (0,0) o denominador x^2+y^2 se anula, logo f(0,0) não está definida. Mesmo que a definíssemos arbitrariamente num valor, seria preciso que o limite de f(x,y) quando (x,y)to(0,0) existisse e fosse igual a esse valor para termos continuidade.

Passo 3

Vamos checar a existência do limite por diferentes caminhos do tipo y=m,x. Substituindo,
fl(x,mxr) =x,(m,x)x^2+(m,x)^2 =m,x^2x^2(1+m^2) =m1+m^2
Portanto
limxto0fl(x,mxr) =m1+m^2,
que depende do parâmetro real m.

Passo 4

Como o valor do limite varia com m, não existe um único limite quando (x,y)to(0,0). Assim
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)
não existe e, além disso, f(0,0) sequer está definida. Concluímos que f não é contínua em P0(0,0).

Resposta

A função não é contínua em P0(0,0).

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