Seja ( M, d ) um espaço métrico. Prove ou dê um contra-exemplo para as seguintes afirmações.
Seja X subset M um conjunto desconexo. Logo
barX também é um conjunto desconexo.

Passo 1

O enunciado pergunta se em todo espaço métrico (M,d) vale que, sempre que um subconjunto Xsubset M é desconexo, seu fechamento X também é desconexo. O conteúdo envolvido é: definição de conjunto desconexo na topologia de subespaço e propriedade de fechamento em espaços métricos.

Passo 2

Relembramos a definição de desconexão em espaços métricos. Um subconjunto Ysubset M é desconexo se existem abertos U,Vsubset M tais que
Ucap Yneqemptyset, Vcap Yneqemptyset, (Ucap Y)cup (Vcap Y)=Y, (Ucap Y)cap (Vcap Y)=emptyset
Caso não seja possível encontrar tal separação, dizemos que Y é conexo.

Passo 3

Vamos construir um contra-exemplo em (R,|cdot|). Tome
X=(0,1)capQ
Escolha um irracional alphain(0,1), por exemplo alpha=raiz2/2, e defina os abertos
U=(-infty,alpha), V=(alpha,infty)
Então
Ucap X=(0,alpha)capQneqemptyset, Vcap X=(alpha,1)capQneqemptyset,
esses dois conjuntos são disjuntos e sua união é X. Logo X é desconexo.

Passo 4

Agora calculamos o fechamento de X em R. Como Q é denso em R, temos
X=[0,1]
Mas é conhecido que todo intervalo fechado em R é conexo. Portanto X é conexo.

Passo 5

Concluímos que existe X desconexo cuja aderência X é conexa. Isso mostra que a propriedade de ser desconexo não se preserva em geral ao tomar o fechamento.

Resposta

A afirmação é falsa. Um contra-exemplo é
X=(0,1)capQsubset(R,|cdot|),
que é desconexo, mas cujo fechamento X=[0,1] é conexo.

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