Seja ( ) um espaço métrico. Prove ou dê um contra-exemplo para as seguintes afirmações.
Seja um conjunto desconexo. Logo também é um conjunto desconexo.
Passo 1
O enunciado pergunta se em todo espaço métrico vale que, sempre que um subconjunto é desconexo, seu fechamento também é desconexo. O conteúdo envolvido é: definição de conjunto desconexo na topologia de subespaço e propriedade de fechamento em espaços métricos.
Passo 2
Relembramos a definição de desconexão em espaços métricos. Um subconjunto Ysubset M é desconexo se existem abertos U,Vsubset M tais que
esses dois conjuntos são disjuntos e sua união é X. Logo X é desconexo.
Passo 4
Agora calculamos o fechamento de X em R. Como Q é denso em R, temos
X=[0,1]
Mas é conhecido que todo intervalo fechado em R é conexo. Portanto X é conexo.
Passo 5
Concluímos que existe X desconexo cuja aderência X é conexa. Isso mostra que a propriedade de ser desconexo não se preserva em geral ao tomar o fechamento.
Resposta
A afirmação é falsa. Um contra-exemplo é
X=(0,1)capQsubset(R,|cdot|),
que é desconexo, mas cujo fechamento X=[0,1] é conexo.