Seja ( ) um espaço métrico. Prove ou dê um contra-exemplo para as seguintes afirmações.
Seja um conjunto conexo. Logo também é um conjunto conexo.
Passo 1
O enunciado pergunta se, num espaço métrico , a fronteira de um conjunto conexo é sempre conexa. Para isso vamos usar as definições:
– a aderência de é ,
– o interior de X é int(X),
– a fronteira é
partial X = overline X setminus int(X),
– em R com a métrica usual, sabe-se que um conjunto é conexo se e só se for um intervalo.
Passo 2
Escolhemos como contra-exemplo o espaço métrico l(R,deuclr) e o conjunto
X = (0,2),
que é um intervalo aberto.
Passo 3
Mostramos que X é conexo: em R, todo intervalo (aberto, fechado ou misto) é conexo, logo (0,2) é conexo.
Passo 4
Calculamos a aderência e o interior de X em R:
– overline X = [0,2], pois o fecho de (0,2) é o intervalo fechado de mesmo extremos.
– int(X) = (0,2), uma vez que (0,2) já é aberto.
Passo 5
Portanto a fronteira de X é
partial X = overline X setminus int(X) = [0,2]setminus(0,2) = 0,2
O conjunto 0,2 tem exatamente dois pontos isolados, e não é possível encontrar um único pedaço conectado que os una.
Passo 6
Concluímos que partial X=0,2 é desconexo (basta separar em 0 e 2). Logo existe conjunto conexo X cuja fronteira não é conexa, mostrando que a afirmação é falsa.
Resposta
A afirmação é falsa. Um contra-exemplo em R é X=(0,2), cuja fronteira 0,2 é desconexa.