1.2L Considere a seqüência de termo geral an=1+2raiz3 sen (2 n+2) pi3. Escreva os 10 primeiros termos da seqüência (an) e calcule a201.

Passo 1

O enunciado dá a sequência de termo geral
an = 1 + 2raiz3sen!gl((2n+2)pi3gr)
e pede os dez primeiros termos a1,dots,a10 e o valor de a201. Vamos usar a periodicidade do seno para encontrar um padrão e depois aplicar esse padrão.

Passo 2

Sabemos que sen(x) é 2pi-periódica. Se substituirmos n por n+3 no argumento, temos
[2(n+3)+2]pi3 - (2n+2)pi3 = (2n+6+2)pi - (2n+2)pi3 = 6pi3 = 2pi,
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sen!gl((2(n+3)+2)pi3gr) = sen!gl((2n+2)pi3 + 2pigr) = sen!gl((2n+2)pi3gr)
Isso mostra que an+3=an, ou seja, a sequência é periódica de período 3.

Passo 3

Para identificar o padrão, calculamos an para n=1,2,3:
Para n=1: o argumento é tfrac(2cdot1+2)pi3=tfrac4pi3,
sentfrac4pi3=-tfracraiz32, então
a1 =1+2raiz3l(-tfracraiz32r) =1-1 =0
Para n=2: o argumento é tfrac(4+2)pi3=tfrac6pi3=2pi,
sen(2pi)=0, então
a2=1+0=1
Para n=3: o argumento é tfrac(6+2)pi3=tfrac8pi3, que é equivalente a tfrac8pi3-2pi=tfrac2pi3,
sentfrac2pi3=tfracraiz32, então
a3 =1+2raiz3l(tfracraiz32r) =1+1 =2

Passo 4

Como a sequência repete 0,1,2 a cada três termos, os dez primeiros termos são
a1,a2,dots,a10 =0,,1,,2,,0,,1,,2,,0,,1,,2,,0

Passo 5

Para n=201, note que 201equiv0pmod3, então a201 coincide com o terceiro termo do ciclo, que vale 2.

Resposta

Os dez primeiros termos são
0,,1,,2,,0,,1,,2,,0,,1,,2,,0
e
a201=2

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