Enuncie o TFC e use-o para calcular as seguintes integrais definidas:
integral0^2 x^3+3 x-1 d x;

Passo 1

O enunciado pede que a gente enuncie o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) e, em seguida, use-o para calcular a integral
integral0^2l(x^3+3x-1r),dx
O conteúdo aqui é integração definida usando antiderivadas.

Passo 2

O Teorema Fundamental do Cálculo, na sua parte de avaliação de integrais definidas, diz o seguinte: seja f contínua em [a,b] e seja F uma função tal que F'(x)=f(x) para todo x em [a,b]. Então
integrala^bf(x),dx = F(b) - F(a)

Passo 3

Precisamos encontrar uma antiderivada F(x) para f(x)=x^3+3x-1. Usando a regra da potência e a linearidade da integral:
integral x^3,dx = x^44, integral 3x,dx = 3x^22, integral (-1),dx = -x
Logo, uma antiderivada é
F(x) = x^44 + 3x^22 - x

Passo 4

Aplicando o TFC, temos
integral0^2l(x^3+3x-1r),dx = F(2) - F(0)
Calculemos:
F(2) = 2^44 + 3cdot2^22 - 2 = 164 + 3cdot42 - 2 = 4 + 6 - 2 = 8,
F(0) = 0^44 + 3cdot0^22 - 0 = 0
Portanto,
integral0^2l(x^3+3x-1r),dx = 8 - 0 = 8

Resposta

8

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