5.2L Determine a taxa de juros i necessária para triplicar um investimento em dez anos sob capitalização contínua.

Passo 1

O enunciado pede a taxa de juros i que faz um capital inicial triplicar em dez anos sob capitalização contínua. O conteúdo que precisamos é a fórmula do montante M com juros compostos contínuos, dada por
M = P,e^i t,
onde P é o principal, i é a taxa de juros contínua (anual) e t é o tempo em anos.

Passo 2

Para triplicar o investimento em t=10 anos, o montante M deve ser três vezes o principal P. Logo, substituímos na fórmula:
3P = P,e^,icdot10
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por P:
3 = e^10,i

Passo 3

Para isolar i, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
ln(3) = lnl(e^10,ir) = 10,i
Assim,
i = ln(3)10
Aproximando numericamente, como ln(3)approx1,098612, temos
i approx 1,09861210 = 0,1098612

Resposta

i = ln(3)10approx0,1099(ou 10,99% ao ano)

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