Determine uma equação da reta tangente à curva raizx+ln y-y=0 no ponto de ordenada 1 .
Para obter o declive, derivamos implicitamente com respeito a x
12 raizx+1y y^prime-y^prime & =0 (1y-1) y^prime & =-12 raizx
Para y=1, temos raizx+ln 1-1=0 Leftrightarrow x=1 e obtemos 0 y^prime=-1 / 2. Como não há nenhum número real que multiplicado por 0 dê -1 / 2, a reta tangente em (1,1) é vertical ou não existe. Em qualquer caso, não pode ser calculada pensando y como função de x
Pensando x como função de y e derivando implicitamente com respeito a y obtemos
12 raizx x^prime+1y-1 & =0 x^prime & =(1-1y) 2 raizx
Para y=1, temos x^prime=0, logo a reta é
x-1=x^prime(y-1)=0 Leftrightarrow x=1

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à curva
raizx + ln y - y = 0
no ponto cuja ordenada é y=1.
Conteúdo: curva definida implicitamente e derivação implícita para obter o declive da reta tangente.

Passo 2

Encontrar a abscissa x quando y=1. Substituindo em raizx + ln y - y = 0:
raizx + ln 1 - 1 = 0
Como ln 1 = 0, resta
raizx - 1 = 0 ;;Longrightarrow;; raizx = 1 ;;Longrightarrow;; x = 1
Logo o ponto é (1,1).

Passo 3

Derivar implicitamente em relação a x para achar y'=tfracdydx.
ddxl(raizxr) + ddx(ln y) - ddx(y) = 0
12raizx + 1y,y' - y' = 0 ;;Longrightarrow;; l(1y-1r)y' = -12raizx

Passo 4

Avaliar em (1,1): tfrac1y-1 = tfrac11-1 = 0, logo
0cdot y' = -12,
não existe solução finita para y'. Isso indica que a reta tangente é vertical, ou seja, tem declive infinito. A equação da reta vertical que passa por x=1 é
x = 1

Resposta

x =1

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