Questão 1 (2 pontos) Resolva o PVI e determine o intervalo máximo de definição da solução da EDO
y^prime+3 y=e^-3 xx^2 y(-1)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI
y' + 3,y = e^-3xx^2,
com condição inicial y(-1)=0. Trata-se de uma EDO linear de primeira ordem. Vamos usar o fator integrante para encontrar a solução geral e depois aplicar a condição inicial.

Passo 2

Calculamos o fator integrante
mu(x) = e^integral 3,dx = e^3x
Multiplicando a EDO por mu(x) obtemos
e^3xy' + 3e^3xy = e^3x,e^-3xx^2 Longrightarrow l(e^3xyr)' = 1x^2

Passo 3

Integramos ambos os lados em relação a x:
e^3xy = integral 1x^2,dx = -1x + C
Logo a solução geral é
y(x) = e^-3xl(-tfrac1x + Cr) = -e^-3xx + C,e^-3x

Passo 4

Impondo a condição y(-1)=0 temos
0 = -e^3-1 + C,e^3 = e^3 + C,e^3 Longrightarrow C = -1
Assim a solução particular é
y(x) = -e^-3xx - e^-3x = -x+1x,e^-3x

Passo 5

O termo tfrac1x^2 e o fator integrante são descontínuos em x=0, logo a solução não pode atravessar x=0. Como a condição inicial está em x=-1, o intervalo máximo de definição é
(-infty,0)

Resposta

y(x) = -x+1x,e^-3x, xin(-infty,0)

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