Se f(x, y, z)=e^x y^2+ln (y+z), calcule partial fpartial x(3,0,17), partial fpartial y(1,0,2) e partial fpartial z(0,0,1) R: 0, 12 e 1

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y,z)=e^x y^2+ln(y+z)
e pede as derivadas parciais em pontos específicos. O conteúdo é derivada parcial de função de várias variáveis, usando a regra da cadeia, a derivada de e^u e de ln(u). Vamos encontrar as fórmulas gerais de partial f/partial x, partial f/partial y e partial f/partial z e depois avaliar nos pontos indicados.

Passo 2

Derivada parcial em relação a x: em e^x y^2 tratamos y,z como constantes e em ln(y+z) a derivada é zero. Logo,
partial fpartial x(x,y,z) =partialpartial xe^x y^2 =y^2e^x y^2
Avaliando em (3,0,17) temos y=0, então
partial fpartial x(3,0,17) =0^2e^3cdot0^2 =0

Passo 3

Derivada parcial em relação a y: em e^x y^2 aplicamos a regra da cadeia, e em ln(y+z) a derivada de ln(u) é 1/u. Assim,
partial fpartial y(x,y,z) =2xy,e^x y^2+1y+z
Em (1,0,2) temos x=1, y=0, z=2, então o primeiro termo some e
partial fpartial y(1,0,2) =0+10+2 =12

Passo 4

Derivada parcial em relação a z: o termo e^x y^2 não depende de z e a derivada de ln(y+z) é
partial fpartial z(x,y,z) =1y+z
Avaliando em (0,0,1)
partial fpartial z(0,0,1) =10+1 =1

Resposta

0,;12,;1

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