Calcule a solução geral das Equações Diferenciais
y^prime(x)=x+y+1x

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
y'(x)=x+y+1x
Trata-se de uma equação de primeira ordem e linear em y. Vamos reescrever na forma padrão
dydx+P(x),y=Q(x)
e depois usar fator integrante.

Passo 2

Expandindo o lado direito, temos
x+y+1x=xx+yx+1x=1+yx+1x
e assim a equação fica
dydx-1xy=1+1x

Passo 3

Identificamos P(x)=-tfrac1x. O fator integrante é
mu(x)=e^integral P(x),dx =e^integral -1x,dx =e^-ln|x| =1x

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por mu(x)=tfrac1x, obtemos
1xdydx-1x^2y =1xl(1+1xr) =1x+1x^2
e o lado esquerdo é exatamente
ddxl(yxr) =1xdydx-yx^2

Passo 5

Integrando em relação a x,
yx =integrall(1x+1x^2r),dx =ln|x|-1x+C
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Multiplicando por x para isolar y,
y=xln|x|-1+Cx

Resposta

A solução geral é
y(x)=xln|x|+Cx-1,
onde C é constante arbitrária.

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