Calcule a solução geral das Equações Diferenciais
d yd x=cos 5 xe^10 x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
dydx = cos(5x)e^10x
O conteúdo principal é que podemos separar variáveis ou, de modo mais direto, ver que
dydx = e^-10xcos(5x)
e então integrar em relação a x.

Passo 2

Reescrevemos a equação como
dydx = e^-10xcos(5x)
Isso mostra que basta calcular
y(x) = integral e^-10xcos(5x),dx + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 3

Usamos a fórmula de integração de e^axcos(bx), que diz:
integral e^axcos(bx),dx = e^axa^2 + b^2l(acos(bx) + bsin(bx)r)

Passo 4

No nosso caso, a=-10 e b=5, logo
integral e^-10xcos(5x),dx = e^-10x(-10)^2 + 5^2l((-10)cos(5x) + 5sin(5x)r)
Como (-10)^2+5^2=100+25=125, isso fica
integral e^-10xcos(5x),dx = e^-10x125l(-10cos(5x)+5sin(5x)r)

Passo 5

Fatorando 5 no numerador e simplificando por 125, temos
-10cos(5x)+5sin(5x)125 = 5(-2cos(5x)+sin(5x))125 = -2cos(5x)+sin(5x)25
Portanto a solução geral é
y(x) = e^-10x25l(sin(5x) - 2cos(5x)r) + C

Resposta

y(x) = e^-10x25l(sin(5x) - 2cos(5x)r) + C

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