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- A entalpia de uma mistura de acido sulfúrico e agua pode ser calculada pela seguinte equaçāo.
- As entalpias das substancias puras; acido sulfúrico e
-agua são:
, respetivamente.
- Desenvolva expressões para as entalpias molares parciais do acido sulfúrico a a àgua.
-agua são:
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (todas relevantes para a resolução):
- A entalpia de mistura (entalpia de mistura por mol) é dada por
onde, para evitar notação longa, vou chamar
a fração molar do ácido sulfúrico e
a fração molar da água.
- As entalpias molares das substâncias puras (entalpias padrão) foram fornecidas no enunciado para o ácido sulfúrico e para a água; vou representá-las por
- O objetivo: desenvolver expressões para as entalpias molares parciais (partial molar enthalpies) do ácido sulfúrico e da água em função da composição
.
Passo 2
O que é entalpia molar parcial e a fórmula que vamos usar (explicação didática):
- A entalpia molar do líquido misto (por mol de mistura) é dada por
Aqui
é a entalpia molar da mistura (kJ/mol).
- A entalpia molar parcial do componente 1 (ácido) é, por definição termodinâmica,
mas para propriedades molares de mistura binária é prático usar as fórmulas padrão (que vêm de diferenciar
). Essas fórmulas são (vou mostrá-las e justificar rapidamente):
Derivando
em relação a
e reorganizando obtém-se as relações conhecidas
Essas fórmulas dizem: para achar a entalpia parcial de 1, soma-se a entalpia molar da mistura
com
vezes a derivada de
em relação a
. (Mesma ideia para
, com sinal trocado.)
Passo 3
Escrever explicitamente
e calcular a derivada
:
- Primeiro escrevo a entalpia molar da mistura:
- A derivada é
Explico: a derivada de
em relação a
é
porque
e
são constantes (entalpias dos puros).
Passo 4
Calcular explicitamente
e sua derivada (passo a passo, sem pular etapas):
- Escrevo
em função de :
- Para facilitar a derivação, primeiro expandimos o polinómio:
Portanto
- Agora derivamos termo a termo (regra da derivada de polinómios):
Calculei os coeficientes internos:
e
. Então podemos escrever
Passo 5
Voltar às fórmulas das entalpias molares parciais e substituir
e
:
- Usando
com :
- Substituindo
e , nota-se que os termos com e simplificam elegantemente (faço a combinação passo a passo):
Escrevendo explicitamente e recolhendo termos:
Observe a simplificação: os termos lineares em
e
somam-se para dar
.
- De forma análoga, para
(usando ) obtemos:
Também aqui há cancelamentos que deixam a expressão em função de
,
e sua derivada.]
Passo 6
Substituir explicitamente
e
nas fórmulas obtidas e apresentar forma simplificada:
- Relembrando:
- Substituindo em
e fatorando o resulta, após simplificação algébrica, na forma polinomial limpa
- Para
, substituindo em e simplificando obtemos
- Se preferir, estas expressões podem ser abertas em potências de
; por exemplo expandida é
e
expandida é