Sabendo que H=f(P, T), deduza dH em função de propriedades mensurávels (relações termodinämicas). (2p)
\begin{aligned} & d\left(H=u+P_{0}\right) \\\ & d U=t s-s d t \\\ & d H \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá que a entalpia é função de pressão e temperatura, H=f(P,T), e fornece relações parciais/semânticas que sugerem as identidades usuais:
  • a definição de entalpia: H=U+P\,V (vou considerar que o termo P_{0} no enunciado corresponde a P\,V);
  • a primeira lei na forma diferencial para processo reversível: dU=T\,dS-P\,dV (o enunciado mostrou algo como dU=t s-s d t, que interpretamos como dU=T\,dS-P\,dV).
O que é pedido: deduzir dH expresso em termos de propriedades “mensuráveis” (isto é, em termos de T,\;P,\;V,\;C_{P}, coeficiente de dilatação, etc.), ou seja, escrever o diferencial total de H(P,T) usando quantidades que podem ser obtidas experimentalmente.

Passo 2

Começo pela definição de entalpia e calculo seu diferencial total. A entalpia é
H = U + P\,V.
Tomando diferencial total:
dH = dU + P\,dV + V\,dP.
Agora uso a expressão para dU válida para um sistema simples e reversível:
dU = T\,dS - P\,dV.
Substituo na expressão de dH:
dH = (T\,dS - P\,dV) + P\,dV + V\,dP.

Passo 3

Simplifico os termos que se cancelam ( -P\,dV com +P\,dV):
dH = T\,dS + V\,dP.
Essa é uma forma muito simples e importante: o diferencial natural de H em variáveis (S,P) é \,dH=T\,dS+V\,dP. Mas como o enunciado pede H=f(P,T), preciso reescrever dH em termos de dT e dP (ou seja, em variáveis mensuráveis T e P).

Passo 4

Escrevo dS em função de dT e dP. Pela regra de diferenciação total:
dS = \left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{P} dT + \left(\frac{\partial S}{\partial P}\right)_{T} dP.
Agora uso duas identidades termodinâmicas importantes:
  1. A capacidade térmica molar (ou por massa) a pressão constante é definida por
C_{P} = T \left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{P}.
Logo
\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{P} = \frac{C_{P}}{T}.
Expliquei: C_{P} é a quantidade de calor necessária para aumentar a temperatura em 1 unidade mantendo a pressão constante; é uma grandeza mensurável.
  1. A relação de Maxwell que liga derivadas cruzadas obtém-se do potencial de Gibbs G=H-TS, cujo diferencial é dG=-S\,dT+V\,dP. Igualando derivadas mistas obtemos a relação
\left(\frac{\partial S}{\partial P}\right)_{T} = -\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P}.
Expliquei: essa igualdade vem do fato de que as segundas derivadas mistas de G(T,P) são iguais (simetria das derivadas parciais).
Substituindo essas duas identidades em dS:
dS = \frac{C_{P}}{T}\,dT - \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P} dP.

Passo 5

Volto à expressão dH=T\,dS+V\,dP e substituo dS:
dH = T\!\left(\frac{C_{P}}{T}\,dT - \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P} dP\right) + V\,dP.
Simplificando:
dH = C_{P}\,dT + \bigg[V - T\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P}\bigg] dP.
Essa é a forma desejada: um diferencial de H em termos de dT e dP, com C_{P}, V e \left(\dfrac{\partial V}{\partial T}\right)_{P} — todos quantidades mensuráveis (ou relacionadas a quantidades mensuráveis).

Passo 6

Opcionalmente, expressa-se \left(\dfrac{\partial V}{\partial T}\right)_{P} pelo coeficiente de dilatação térmica isobárico \alpha, definido por
\alpha = \frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P}.
Assim
\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P} = \alpha\,V,
e a expressão para dH fica
dH = C_{P}\,dT + V\,(1 - T\alpha)\,dP.
Comentário prático: para muitos líquidos pouco compressíveis \alpha é pequeno e 1-T\alpha\approx 1, então aproximadamente \left(\dfrac{\partial H}{\partial P}\right)_{T}\approx V. Para gases o termo -T(\partial V/\partial T)_{P} é importante e deve ser mantido.

Resposta

dH = C_{P}\,dT + \displaystyle\left(V - T\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P}\right) dP
dH = C_{P}\,dT + V(1 - T\alpha)\,dP, \displaystyle \alpha=\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P}

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