Seja
a curva parametrizada
. O comprimento de
é:
Escolha uma opção:
◯
◯
◯
◯
◯
Escolha uma opção:
◯
◯
◯
◯
◯
Passo 1
O enunciado dá a curva parametrizada
com
e o parâmetro varia em
. A pergunta é: qual é o comprimento da curva
nesse intervalo?
Informações relevantes que já estão no enunciado:
Informações relevantes que já estão no enunciado:
- As componentes
e estão explícitas. - O intervalo de parâmetros é
.
Passo 2
Regra que vamos usar (fórmula do comprimento de arco de uma curva parametrizada): se
é suave em
, então o comprimento
é
Explicação do porquê:
e
são as componentes da velocidade
. A expressão
é a norma (módulo) dessa velocidade, que é a rapidez com que o ponto anda na curva. Integrando a rapidez ao longo do tempo obtemos o comprimento percorrido.
Passo 3
Calcular as derivadas
e
. Usamos regras básicas:
- derivada de
é ; - derivada de
é ; - regra do produto:
.
Agora derivando termo a termo:
Simplificando esse parêntese:
Para
:
Simplificando:
Passo 4
Calcular a rapidez (norma da derivada):
Como
, isso fica
No intervalo considerado
temos
, então
. Logo a rapidez é simplesmente
.
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula do comprimento com a rapidez encontrada:
Calcule a integral:
então
Simplificando: