Seja C a curva parametrizada C(t)=(\sin t-t \cos t, t \sin t+\cos t) ; t \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]. O comprimento de C é:
Escolha uma opção:
\frac{\pi}{2}
\frac{3 \pi}{8}
\frac{\pi}{3}
\frac{\pi^{2}}{8}
\frac{2 \pi}{5}

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada C(t) = (x(t),y(t)) com
x(t)=\sin t - t\cos t,\qquad y(t)=t\sin t + \cos t,
e o parâmetro varia em t\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]. A pergunta é: qual é o comprimento da curva C nesse intervalo?
Informações relevantes que já estão no enunciado:
  • As componentes x(t) e y(t) estão explícitas.
  • O intervalo de parâmetros é \left[0,\frac{\pi}{2}\right].

Passo 2

Regra que vamos usar (fórmula do comprimento de arco de uma curva parametrizada): se C(t)=(x(t),y(t)) é suave em [a,b], então o comprimento L é
L=\int_{a}^{b}\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^{2}+\bigl(y'(t)\bigr)^{2}}\;dt.
Explicação do porquê: x'(t) e y'(t) são as componentes da velocidade \mathbf{v}(t)=(x'(t),y'(t)). A expressão \sqrt{(x')^{2}+(y')^{2}} é a norma (módulo) dessa velocidade, que é a rapidez com que o ponto anda na curva. Integrando a rapidez ao longo do tempo obtemos o comprimento percorrido.

Passo 3

Calcular as derivadas x'(t) e y'(t). Usamos regras básicas:
  • derivada de \sin t é \cos t;
  • derivada de \cos t é -\sin t;
  • regra do produto: (t\cdot\cos t)' = 1\cdot\cos t + t\cdot(-\sin t).
Agora derivando termo a termo:
x(t)=\sin t - t\cos t \quad\Rightarrow\quad x'(t)=\cos t - (\cos t - t\sin t).
Simplificando esse parêntese:
x'(t)=\cos t - \cos t + t\sin t = t\sin t.
Para y(t):
y(t)=t\sin t + \cos t \quad\Rightarrow\quad y'(t)=(\sin t + t\cos t) + (-\sin t).
Simplificando:
y'(t)=\sin t + t\cos t - \sin t = t\cos t.

Passo 4

Calcular a rapidez (norma da derivada):
\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^{2}+\bigl(y'(t)\bigr)^{2}} = \sqrt{\bigl(t\sin t\bigr)^{2}+\bigl(t\cos t\bigr)^{2}} = \sqrt{t^{2}\bigl(\sin^{2}t+\cos^{2}t\bigr)}.
Como \sin^{2}t+\cos^{2}t=1, isso fica
\sqrt{t^{2}}=|t|.
No intervalo considerado t\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right] temos t\ge 0, então |t|=t. Logo a rapidez é simplesmente t.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula do comprimento com a rapidez encontrada:
L=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} t\;dt.
Calcule a integral:
\int t\;dt=\tfrac{1}{2}t^{2},
então
L=\left.\tfrac{1}{2}t^{2}\right|_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\tfrac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2}\right)^{2}.
Simplificando:
L=\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{\pi^{2}}{4}=\tfrac{\pi^{2}}{8}.

Resposta

\dfrac{\pi^{2}}{8}

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