(2p) Um resistor de 1,0 \mathrm{M} \Omega \mathrm{e} um capacitor de 1,0 \mu \mathrm{~F} inicialmente descarregado estão ligados em série com uma fonte com \varepsilon=5,0 \mathrm{~V}. Para o instante 1,0 \mathrm{~s} depois de feita a ligação, determine:
(a) a constante de tempo \tau_{C} desse circuito RC ;
(b) a corrente que passa pelo circuito nesse instante;
(c) é possível fornecer ao capacitor 6,0 \mu \mathrm{C} de carga nesse circuito? Se sim, determine o tempo necessário para tanto. Sc não, explique por quê.

Passo 1

O enunciado pede três coisas, e nos dá valores iniciais. Vou listar claramente o pedido e os dados numéricos que temos.
Perguntas:
(a) Calcular a constante de tempo \tau_{C} do circuito RC.
(b) Determinar a corrente que passa pelo circuito no instante 1{,}0\\ \mathrm{s} após a ligação.
(c) Verificar se é possível fornecer ao capacitor 6{,}0\\ \mu\mathrm{C} de carga neste circuito; se for possível, determinar o tempo necessário; se não, explicar por quê.
Dados fornecidos:
R = 1{,}0\\ \mathrm{M}\Omega
C = 1{,}0\\ \mu\mathrm{F}
\varepsilon = 5{,}0\\ \mathrm{V}
O capacitor está inicialmente descarregado (isto é, a carga inicial q(0)=0) e o circuito é ligado em t=0.

Passo 2

Primeiro passo técnico: converter unidades para o sistema SI e aplicar a definição da constante de tempo.
Conversões:
R = 1{,}0\\ \mathrm{M}\Omega = 1{,}0\times 10^{6}\\ \Omega
C = 1{,}0\\ \mu\mathrm{F} = 1{,}0\times 10^{-6}\\ \mathrm{F}
Definição da constante de tempo de um circuito RC em série:
\tau_{C} = R\,C
Aqui \tau_{C} tem unidades de segundos porque [R]=\Omega e [C]=\mathrm{F}=\mathrm{C}/\mathrm{V} e \Omega\cdot\mathrm{F}=\mathrm{s}.

Passo 3

Cálculo numérico de \tau_{C}.
Usando os valores convertidos:
\tau_{C} = (1{,}0\times 10^{6})(1{,}0\times 10^{-6})\\ \mathrm{s}
\tau_{C} = 1{,}0\\ \mathrm{s}
Interpretação física rápida (útil na prova): \tau_{C}=1{,}0\\ \mathrm{s} significa que, aproximadamente, em t=\tau_{C} o capacitor atinge cerca de 63{,}2\% da carga final e a corrente caiu para e^{-1} da corrente inicial.

Passo 4

Agora vamos deduzir a expressão da carga q(t) e da corrente i(t) do circuito RC (a explicação ajuda na prova).
Definimos:
\,q(t) = carga no capacitor em coulombs no instante t.
\,i(t)=\dfrac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} = corrente instantânea (positiva enquanto o capacitor carrega).
Equação de malha (Lei de Kirchhoff): a fonte fornece tensão \varepsilon que se divide em v_{R}=iR e v_{C}=q/C, logo
\varepsilon - iR - \frac{q}{C}=0.
Substituindo i=\dfrac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} obtemos a equação diferencial:
R\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} + \frac{q}{C} = \varepsilon.
Dividindo por R
\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} + \frac{1}{RC}q = \frac{\varepsilon}{R}.
Solução típica (método dos coeficientes indeterminados):
  • Solução homogênea: q_h(t)=A e^{-t/(RC)}.
  • Solução particular constante: q_p = C\varepsilon.
    Somando e usando q(0)=0
q(t) = C\varepsilon\left(1 - e^{-t/(RC)}\right).
A corrente é a derivada:
i(t)=\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} = C\varepsilon\cdot\frac{1}{RC} e^{-t/(RC)} = \frac{\varepsilon}{R} e^{-t/(RC)}.
Explicação das variáveis nesta fórmula:
\varepsilon é a tensão da fonte em volts; R é resistência em ohms; t é o tempo; RC é a constante de tempo \tau_{C}. A expressão mostra que a corrente começa em \varepsilon/R e decresce exponencialmente com tempo característico \tau_{C}.

Passo 5

Calcular numericamente a corrente no instante t=1{,}0\\ \mathrm{s}.
Primeiro a corrente inicial:
i(0)=\frac{\varepsilon}{R} = \frac{5{,}0}{1{,}0\times 10^{6}}\\ \mathrm{A} = 5{,}0\times 10^{-6}\\ \mathrm{A} = 5{,}0\\ \mu\mathrm{A}.
Como já achamos \tau_{C}=1{,}0\\ \mathrm{s}, para t=1{,}0\\ \mathrm{s} temos t/\tau_{C}=1 e
i(1{,}0\\ \mathrm{s}) = \frac{\varepsilon}{R} e^{-1}.
Avaliação numérica:
i(1{,}0\\ \mathrm{s}) = 5{,}0\times 10^{-6}\cdot e^{-1}\\ \mathrm{A}.
Usando e^{-1}\approx 0{,}367879 obtemos
i(1{,}0\\ \mathrm{s}) \approx 5{,}0\times 10^{-6}\cdot 0{,}367879\\ \mathrm{A} \approx 1{,}84\times 10^{-6}\\ \mathrm{A}.
Convertendo para microampères:
i(1{,}0\\ \mathrm{s}) \approx 1{,}84\\ \mu\mathrm{A}.

Passo 6

Responder à parte (c): verificar se é possível carregar o capacitor com 6{,}0\\ \mu\mathrm{C}.
A carga máxima que o capacitor pode atingir (quando t\to\infty) é
Q_{\max} = C\varepsilon.
Calculemos numericamente:
Q_{\max} = (1{,}0\times 10^{-6})(5{,}0)\\ \mathrm{C} = 5{,}0\times 10^{-6}\\ \mathrm{C} = 5{,}0\\ \mu\mathrm{C}.
Comparação:
6{,}0\\ \mu\mathrm{C} > Q_{\max}=5{,}0\\ \mu\mathrm{C}.
Portanto é impossível alcançar 6{,}0\\ \mu\mathrm{C} com esta fonte e este capacitor, porque a carga em regime estacionário é limitada a C\varepsilon. Uma tentativa algébrica mostra a inconsistência: se tentarmos resolver q(t)=6{,}0\\ \mu\mathrm{C}=5{,}0\\ \mu\mathrm{C}\,(1-e^{-t/\tau}) obteríamos 1-e^{-t/\tau}=6/5=1{,}2, o que implica e^{-t/\tau}=-0{,}2 — impossível, pois a exponencial é sempre positiva.

Resposta

(a) \tau_{C}=1{,}0\\ \mathrm{s}
(b) i(1{,}0\\ \mathrm{s})\approx 1{,}84\\ \mu\mathrm{A}
(c) Não — carga máxima Q_{\max}=C\varepsilon=5{,}0\\ \mu\mathrm{C}<6{,}0\\ \mu\mathrm{C}

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