(2p) Um resistor de
um capacitor de
inicialmente descarregado estão ligados em série com uma fonte com
. Para o instante
depois de feita a ligação, determine:
(a) a constante de tempo
desse circuito RC ;
(b) a corrente que passa pelo circuito nesse instante;
(c) é possível fornecer ao capacitor
de carga nesse circuito? Se sim, determine o tempo necessário para tanto. Sc não, explique por quê.
(a) a constante de tempo
(b) a corrente que passa pelo circuito nesse instante;
(c) é possível fornecer ao capacitor
Passo 1
O enunciado pede três coisas, e nos dá valores iniciais. Vou listar claramente o pedido e os dados numéricos que temos.
Perguntas:
(a) Calcular a constante de tempo do circuito RC.
(b) Determinar a corrente que passa pelo circuito no instante após a ligação.
(c) Verificar se é possível fornecer ao capacitor de carga neste circuito; se for possível, determinar o tempo necessário; se não, explicar por quê.
(a) Calcular a constante de tempo
(b) Determinar a corrente que passa pelo circuito no instante
(c) Verificar se é possível fornecer ao capacitor
Dados fornecidos:
O capacitor está inicialmente descarregado (isto é, a carga inicial
) e o circuito é ligado em
.
Passo 2
Primeiro passo técnico: converter unidades para o sistema SI e aplicar a definição da constante de tempo.
Conversões:
Definição da constante de tempo de um circuito RC em série:
Aqui
tem unidades de segundos porque
e
e
.
Passo 3
Cálculo numérico de
.
Usando os valores convertidos:
Interpretação física rápida (útil na prova):
significa que, aproximadamente, em
o capacitor atinge cerca de
da carga final e a corrente caiu para
da corrente inicial.
Passo 4
Agora vamos deduzir a expressão da carga
e da corrente
do circuito RC (a explicação ajuda na prova).
Definimos:
= carga no capacitor em coulombs no instante
.
= corrente instantânea (positiva enquanto o capacitor carrega).
Equação de malha (Lei de Kirchhoff): a fonte fornece tensão que se divide em
e
, logo
Equação de malha (Lei de Kirchhoff): a fonte fornece tensão
Substituindo
obtemos a equação diferencial:
Dividindo por
dá
Solução típica (método dos coeficientes indeterminados):
- Solução homogênea:
. - Solução particular constante:
.
Somando e usandodá
A corrente é a derivada:
Explicação das variáveis nesta fórmula:
é a tensão da fonte em volts;
é resistência em ohms;
é o tempo;
é a constante de tempo
. A expressão mostra que a corrente começa em
e decresce exponencialmente com tempo característico
.
Passo 5
Calcular numericamente a corrente no instante
.
Primeiro a corrente inicial:
Como já achamos
, para
temos
e
Avaliação numérica:
Usando
obtemos
Convertendo para microampères:
Passo 6
Responder à parte (c): verificar se é possível carregar o capacitor com
.
A carga máxima que o capacitor pode atingir (quando
) é
Calculemos numericamente:
Comparação:
Portanto é impossível alcançar
com esta fonte e este capacitor, porque a carga em regime estacionário é limitada a
. Uma tentativa algébrica mostra a inconsistência: se tentarmos resolver
obteríamos
, o que implica
— impossível, pois a exponencial é sempre positiva.
Resposta
(a)
(b)
(c) Não — carga máxima
(b)
(c) Não — carga máxima