(3p) Um resistor de 4,0 \mathrm{M} \Omega e um capacitor de 1,0 \mu \mathrm{~F} inicialmente descarregado estão ligados em série com uma fonte \operatorname{com} \varepsilon=5,0 \mathrm{~V}. Para o instante 1,0 \mathrm{~s} depois de feita a ligação, determine:
(a) a constante de tempo \tau_{C} desse circuito RC ;
(b) a corrente que passa pelo circuito nesse instante;
(c) é possível fornecer ao capacitor 8,0 \mu \mathrm{C} de carga nesse circuito? Se sim, determine o tempo necessário para tanto. Se não, explique por quê.

Passo 1

O enunciado dá um circuito série com um resistor e um capacitor ligados a uma fonte DC e pede três coisas. Informações e perguntas explicitadas:
  • Dados fornecidos:
    • Resistor: R=4,0\\ \mathrm{M}\Omega.
    • Capacitor: C=1,0\\ \mu\mathrm{F}.
    • Fonte (tensão): \varepsilon=5,0\\ \mathrm{V}.
    • Instante de interesse para (b): t=1,0\\ \mathrm{s}.
    • Estado inicial: capacitor inicialmente descarregado (isto é, q(0)=0).
  • Perguntas:
    (a) Determinar a constante de tempo \tau_{C} do circuito RC.
    (b) Determinar a corrente que passa pelo circuito no instante t=1,0\\ \mathrm{s}.
    (c) Verificar se é possível fornecer ao capacitor 8,0\\ \mu\mathrm{C} de carga; se sim, achar o tempo necessário; se não, explicar por quê.

Passo 2

No circuito de carga do capacitor (série R C) fazemos a lei das malhas (Kirchhoff): a tensão da fonte é igual à soma das quedas em R e em C. Escrevendo em função da carga q(t) no capacitor e da corrente i(t)=\dfrac{dq}{dt}, temos a equação
\varepsilon - iR - \frac{q}{C}=0.
Como i=\dfrac{dq}{dt}, reescrevemos como uma equação diferencial para q(t):
R\frac{dq}{dt} + \frac{q}{C} = \varepsilon.
Esta é uma equação linear de 1.º ordem. Vou resolver passo a passo para obter q(t) e, a partir dela, i(t).

Passo 3

Resolver a equação diferencial. Primeiro escrevo na forma padrão:
\frac{dq}{dt} + \frac{1}{RC}\,q = \frac{\varepsilon}{R}.
O fator integrante é \mu(t)=e^{\int \frac{1}{RC}\,dt}=e^{t/(RC)}. Multiplicando ambos os lados por \mu(t) e integrando:
\frac{d}{dt}\Big( e^{t/(RC)} q(t)\Big) = \frac{\varepsilon}{R}\,e^{t/(RC)}.
Integro em t de 0 a t, lembrando que q(0)=0:
e^{t/(RC)} q(t) - q(0) = \frac{\varepsilon}{R}\int_{0}^{t} e^{t'/(RC)}\,dt'.
Como q(0)=0 e a integral dá RC\big(e^{t/(RC)}-1\big), obtemos
e^{t/(RC)} q(t) = \frac{\varepsilon}{R}\,RC\big(e^{t/(RC)}-1\big).
Cancelando e^{t/(RC)} no lado apropriado resulta a expressão clássica da carga:
q(t)=C\varepsilon\Big(1-e^{-t/(RC)}\Big).
A corrente é a derivada da carga:
i(t)=\frac{dq}{dt} = \frac{\varepsilon}{R}\,e^{-t/(RC)}.
Vou usar essas fórmulas para responder (a), (b) e (c). Antes, explico o que é a constante de tempo.

Passo 4

Definição e cálculo da constante de tempo. A constante de tempo do circuito RC é
\tau_C = RC.
Interpretação física rápida: \tau_C é o tempo característico de carga/descarga — depois de um tempo \tau_C a carga atinge aproximadamente 63,2\% do valor final C\varepsilon e a corrente decresce para 1/e do valor inicial.
Agora calculo numericamente com os dados:
R=4,0\\ \mathrm{M}\Omega=4,0\times10^{6}\\ \Omega,
C=1,0\\ \mu\mathrm{F}=1,0\times10^{-6}\\ \mathrm{F}.
Então
\tau_C = RC = (4,0\times10^{6})(1,0\times10^{-6})=4,0\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Cálculo da corrente no instante t=1,0\\ \mathrm{s}. Usamos a fórmula obtida:
i(t)=\frac{\varepsilon}{R}\,e^{-t/\tau_C}.
Calculo o termo \dfrac{\varepsilon}{R}:
\frac{\varepsilon}{R}=\frac{5,0\\ \mathrm{V}}{4,0\times10^{6}\\ \Omega}=1,25\times10^{-6}\\ \mathrm{A}=1,25\\ \mu\mathrm{A}.
O expoente é -t/\tau_C = -\dfrac{1,0}{4,0}=-0,25. Então
e^{-0,25}\approx 0,77880078.
Multiplicando:
i(1,0\\ \mathrm{s})=1,25\times10^{-6}\times 0,77880078 \approx 9,74\times10^{-7}\\ \mathrm{A}.
Em unidades mais legíveis isto é i(1,0\\ \mathrm{s})\approx 0,974\\ \mu\mathrm{A}.

Passo 6

Análise da pergunta (c): verificar se é possível fornecer ao capacitor 8,0\\ \mu\mathrm{C} de carga. Primeiro encontramos a carga máxima (em regime estacionário t\to\infty):
Q_{\text{max}}=C\varepsilon.
Com os valores:
Q_{\text{max}}=(1,0\times10^{-6}\\ \mathrm{F})\times(5,0\\ \mathrm{V})=5,0\times10^{-6}\\ \mathrm{C}=5,0\\ \mu\mathrm{C}.
Esse é o valor máximo de carga que o capacitor pode atingir com essa fonte e esse capacitor. Como 8,0\\ \mu\mathrm{C} é maior que 5,0\\ \mu\mathrm{C}, não é possível atingir 8,0\\ \mu\mathrm{C} neste circuito.

Passo 7

Complemento didático (por que matematicamente impossível). Se tentássemos usar a expressão q(t)=C\varepsilon\big(1-e^{-t/\tau_C}\big) e inverter para obter t quando q fosse 8,0\\ \mu\mathrm{C}, faríamos
1-e^{-t/\tau_C} = \frac{q}{C\varepsilon}.
Para q=8,0\\ \mu\mathrm{C} a razão do lado direito seria
\frac{q}{C\varepsilon}=\frac{8,0}{5,0}=1,6,
logo 1-e^{-t/\tau_C}=1,6 e e^{-t/\tau_C}=-0,6, o que é impossível porque a exponencial nunca é negativa. Isso confirma que não existe tempo finito (nem infinito) em que q(t)=8,0\\ \mu\mathrm{C} neste circuito — o limite superior é 5,0\\ \mu\mathrm{C}.

Resposta

(a) \tau_{C}=4,0\\ \mathrm{s}
(b) i(1,0\\ \mathrm{s})\approx 9,74\times10^{-7}\\ \mathrm{A}\\ (=0,974\\ \mu\mathrm{A})
(c) Não — a carga máxima possível é Q_{\text{max}}=C\varepsilon=5,0\\ \mu\mathrm{C}<8,0\\ \mu\mathrm{C}.

Exercícios relacionados