(3p) Um resistor de
e um capacitor de
inicialmente descarregado estão ligados em série com uma fonte
. Para o instante
depois de feita a ligação, determine:
(a) a constante de tempo
desse circuito RC ;
(b) a corrente que passa pelo circuito nesse instante;
(c) é possível fornecer ao capacitor
de carga nesse circuito? Se sim, determine o tempo necessário para tanto. Se não, explique por quê.
(a) a constante de tempo
(b) a corrente que passa pelo circuito nesse instante;
(c) é possível fornecer ao capacitor
Passo 1
O enunciado dá um circuito série com um resistor e um capacitor ligados a uma fonte DC e pede três coisas. Informações e perguntas explicitadas:
-
Dados fornecidos:
- Resistor:
. - Capacitor:
. - Fonte (tensão):
. - Instante de interesse para (b):
. - Estado inicial: capacitor inicialmente descarregado (isto é,
).
- Resistor:
-
Perguntas:
(a) Determinar a constante de tempodo circuito RC.
(b) Determinar a corrente que passa pelo circuito no instante.
(c) Verificar se é possível fornecer ao capacitorde carga; se sim, achar o tempo necessário; se não, explicar por quê.
Passo 2
No circuito de carga do capacitor (série
–
) fazemos a lei das malhas (Kirchhoff): a tensão da fonte é igual à soma das quedas em
e em
. Escrevendo em função da carga
no capacitor e da corrente
, temos a equação
Como
, reescrevemos como uma equação diferencial para
:
Esta é uma equação linear de 1.º ordem. Vou resolver passo a passo para obter
e, a partir dela,
.
Passo 3
Resolver a equação diferencial. Primeiro escrevo na forma padrão:
O fator integrante é
. Multiplicando ambos os lados por
e integrando:
Integro em
de
a
, lembrando que
:
Como
e a integral dá
, obtemos
Cancelando
no lado apropriado resulta a expressão clássica da carga:
A corrente é a derivada da carga:
Vou usar essas fórmulas para responder (a), (b) e (c). Antes, explico o que é a constante de tempo.
Passo 4
Definição e cálculo da constante de tempo. A constante de tempo do circuito RC é
Interpretação física rápida:
é o tempo característico de carga/descarga — depois de um tempo
a carga atinge aproximadamente
do valor final
e a corrente decresce para
do valor inicial.
Agora calculo numericamente com os dados:
Então
Passo 5
Cálculo da corrente no instante
. Usamos a fórmula obtida:
Calculo o termo
:
O expoente é
. Então
Multiplicando:
Em unidades mais legíveis isto é
.
Passo 6
Análise da pergunta (c): verificar se é possível fornecer ao capacitor
de carga. Primeiro encontramos a carga máxima (em regime estacionário
):
Com os valores:
Esse é o valor máximo de carga que o capacitor pode atingir com essa fonte e esse capacitor. Como
é maior que
, não é possível atingir
neste circuito.
Passo 7
Complemento didático (por que matematicamente impossível). Se tentássemos usar a expressão
e inverter para obter
quando
fosse
, faríamos
Para
a razão do lado direito seria
logo
e
, o que é impossível porque a exponencial nunca é negativa. Isso confirma que não existe tempo finito (nem infinito) em que
neste circuito — o limite superior é
.
Resposta
(a)
(b)
(c) Não — a carga máxima possível é .
(b)
(c) Não — a carga máxima possível é