Considere um bloco de massa
, apoiado sobre a superfície (no topo) de um plano inclinado cujo ângulo formado com a horizontal é
. O bloco encontra-se em equilíbrio (parado).
a) Desenhe um diagrama de corpo livre identificando todas as forças atuando sobre o bloco.
b) Desprezando a força de atrito, determine a aceleração do bloco ao ser abandonado do topo do plano inclinado.
c) Agora suponha que outro bloco esteja descendo o mesmo plano com velocidade constante. Sendo
, o coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a superfície do plano, determine o valor de
.
a) Desenhe um diagrama de corpo livre identificando todas as forças atuando sobre o bloco.
b) Desprezando a força de atrito, determine a aceleração do bloco ao ser abandonado do topo do plano inclinado.
c) Agora suponha que outro bloco esteja descendo o mesmo plano com velocidade constante. Sendo
Passo 1
Enunciado e dados importantes (o que a questão pede e o que já foi dado):
- Temos um bloco de massa
apoiado no topo de um plano inclinado que forma um ângulo com a horizontal. - O bloco está inicialmente em equilíbrio (parado).
- Perguntas:
a) Desenhar o diagrama de corpo livre identificando todas as forças que atuam sobre o bloco.
b) Desprezando a força de atrito, determinar a aceleração do bloco quando ele é abandonado do topo do plano.
c) Supondo que outro bloco desça o mesmo plano com velocidade constante, e sendoo coeficiente de atrito cinético entre bloco e plano, determinar o valor de . - Informações relevantes implícitas no enunciado que usaremos depois: a gravidade produz uma força peso de intensidade
vertical para baixo; existe uma força normal perpendicular à superfície; quando houver atrito ele atua paralelo à superfície e no sentido que se opõe ao movimento relativo entre bloco e plano.
Passo 2
Diagrama de corpo livre (descrição detalhada do que desenhar):
- No ponto que representa o bloco desenhe três vetores:
- O peso
apontando verticalmente para baixo. - A força normal
atuando perpendicularmente à superfície do plano, apontando para fora do plano (ou seja, formando um ângulo com a vertical). - A força de atrito
(quando presente): ela é paralela à superfície do plano e aponta no sentido que se opõe ao movimento relativo. Se o bloco tende a deslizar para baixo, aponta para cima ao longo do plano; se o bloco desce com velocidade constante, aponta para cima do plano.
- O peso
- Para facilitar contas, junto ao desenho marque um eixo
paralelo ao plano (positivo para baixo ao longo do plano) e um eixo perpendicular ao plano (positivo para fora do plano).
Passo 3
Escolha de eixos e justificativa (por que escolhemos esses eixos):
- Eixo
: paralelo à superfície do plano, positivo no sentido de descer o plano. Esse eixo deixa a componente de aceleração (se houver) ao longo do plano diretamente acessível. - Eixo
: perpendicular à superfície, positivo para fora do plano. Nesse eixo normalmente não há aceleração porque o bloco permanece em contato com a superfície (a menos que haja salto), então podemos usar equilíbrio em para achar . - Essa escolha simplifica porque a normal fica exclusivamente no eixo
e a componente que causa o deslizamento fica no eixo .
Passo 4
Decomposição do peso em componentes paralela e perpendicular ao plano (explicação trigonométrica passo a passo):
- O vetor peso
aponta para baixo. Se você desenhar o triângulo formado pelas componentes do peso com respeito aos eixos e , o ângulo entre a direção do peso e a direção perpendicular ao plano é exatamente . - Usando trigonometria num triângulo retângulo:
- A componente do peso perpendicular ao plano (no eixo
) é a adjacente ao ângulo . Portanto
- A componente do peso paralela ao plano (no eixo
, sentido para baixo) é a oposta ao ângulo . Portanto
- A componente do peso perpendicular ao plano (no eixo
- Em palavras:
“pressiona” o bloco contra o plano; tende a fazer o bloco deslizar para baixo.
Passo 5
Cálculo da força normal
usando equilíbrio no eixo
:
- Se não há movimento perpendicular ao plano, somatório das forças em
é zero: - Logo
- Comentário didático: a normal é a reação da superfície para equilibrar a componente perpendicular do peso. Ela depende de
, e via .
Passo 6
Parte (b) — escrever as forças no eixo
quando o atrito é desprezado:
- Desprezando atrito, a única força ao longo do eixo
(paralela ao plano) é a componente do peso para baixo: . - Pelo segundo princípio de Newton (escrevo a forma e explico): a soma das forças ao longo de um eixo é igual à massa vezes a aceleração nesse eixo. Ou seja,
Aqui .
Passo 7
Resolver a equação de movimento para obter a aceleração (demonstração passo a passo):
- Aplicando
com a força única , - Cancela
dos dois lados (explico: desde que , pode-se dividir por ): - Interpretação: a aceleração para baixo ao longo do plano é
. Note que não depende da massa do bloco — só do ângulo e da gravidade.
Passo 8
Comentário prático e exemplo numérico rápido (para fixar a ideia):
- Ex.: se
, então e . Se , então . - Isso é só para você visualizar — na prova mantenha a forma simbólica
.
Passo 9
Parte (c) — condição física para velocidade constante e fórmula do atrito cinético:
- Velocidade constante significa aceleração zero:
. Portanto a soma das forças ao longo de deve ser zero. - A força de atrito cinético tem módulo
onde é o coeficiente de atrito cinético e é a normal (já achamos ). O atrito atua para cima do plano quando o bloco desce para baixo.
Passo 10
Escrever a condição de equilíbrio em
e substituir
:
- Soma de forças em
com : - Substituindo
e :
Passo 11
Isolar
e obter a resposta final (passo a passo algébrico):
- Da equação anterior, factoriza
: - Como
, temos - Isolando
: - Interpretação: para que um bloco desça com velocidade constante, o coeficiente de atrito cinético deve ser exatamente
. Novamente, não depende da massa nem de .
Resposta
(a) Forças:
(vertical para baixo);
(normal, perpendicular ao plano, para fora do plano);
(força de atrito, paralela ao plano, apontando para cima do plano se o bloco tende a deslizar para baixo).
(b) .
(c) .
(b)
(c)