Considere um bloco de massa m, apoiado sobre a superfície (no topo) de um plano inclinado cujo ângulo formado com a horizontal é \theta. O bloco encontra-se em equilíbrio (parado).
a) Desenhe um diagrama de corpo livre identificando todas as forças atuando sobre o bloco.
b) Desprezando a força de atrito, determine a aceleração do bloco ao ser abandonado do topo do plano inclinado.
c) Agora suponha que outro bloco esteja descendo o mesmo plano com velocidade constante. Sendo \mu_{c}, o coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a superfície do plano, determine o valor de \mu_{c}.

Passo 1

Enunciado e dados importantes (o que a questão pede e o que já foi dado):
  • Temos um bloco de massa (m) apoiado no topo de um plano inclinado que forma um ângulo (\theta) com a horizontal.
  • O bloco está inicialmente em equilíbrio (parado).
  • Perguntas:
    a) Desenhar o diagrama de corpo livre identificando todas as forças que atuam sobre o bloco.
    b) Desprezando a força de atrito, determinar a aceleração do bloco quando ele é abandonado do topo do plano.
    c) Supondo que outro bloco desça o mesmo plano com velocidade constante, e sendo \mu_{c} o coeficiente de atrito cinético entre bloco e plano, determinar o valor de \mu_{c}.
  • Informações relevantes implícitas no enunciado que usaremos depois: a gravidade produz uma força peso de intensidade (mg) vertical para baixo; existe uma força normal (N) perpendicular à superfície; quando houver atrito ele atua paralelo à superfície e no sentido que se opõe ao movimento relativo entre bloco e plano.

Passo 2

Diagrama de corpo livre (descrição detalhada do que desenhar):
  • No ponto que representa o bloco desenhe três vetores:
    1. O peso \vec{P}=m\vec{g} apontando verticalmente para baixo.
    2. A força normal \vec{N} atuando perpendicularmente à superfície do plano, apontando para fora do plano (ou seja, formando um ângulo \theta com a vertical).
    3. A força de atrito \vec{f} (quando presente): ela é paralela à superfície do plano e aponta no sentido que se opõe ao movimento relativo. Se o bloco tende a deslizar para baixo, \vec{f} aponta para cima ao longo do plano; se o bloco desce com velocidade constante, \vec{f} aponta para cima do plano.
  • Para facilitar contas, junto ao desenho marque um eixo x paralelo ao plano (positivo para baixo ao longo do plano) e um eixo y perpendicular ao plano (positivo para fora do plano).

Passo 3

Escolha de eixos e justificativa (por que escolhemos esses eixos):
  • Eixo x: paralelo à superfície do plano, positivo no sentido de descer o plano. Esse eixo deixa a componente de aceleração (se houver) ao longo do plano diretamente acessível.
  • Eixo y: perpendicular à superfície, positivo para fora do plano. Nesse eixo normalmente não há aceleração porque o bloco permanece em contato com a superfície (a menos que haja salto), então podemos usar equilíbrio em y para achar N.
  • Essa escolha simplifica porque a normal fica exclusivamente no eixo y e a componente que causa o deslizamento fica no eixo x.

Passo 4

Decomposição do peso em componentes paralela e perpendicular ao plano (explicação trigonométrica passo a passo):
  • O vetor peso \vec{P}=m\vec{g} aponta para baixo. Se você desenhar o triângulo formado pelas componentes do peso com respeito aos eixos x e y, o ângulo entre a direção do peso e a direção perpendicular ao plano é exatamente \theta.
  • Usando trigonometria num triângulo retângulo:
    • A componente do peso perpendicular ao plano (no eixo y) é a adjacente ao ângulo \theta. Portanto
    N_{\text{(equilíbrio)}?}\\ \text{(componente perpendicular do peso)} = mg\cos\theta.í
    • A componente do peso paralela ao plano (no eixo x, sentido para baixo) é a oposta ao ângulo \theta. Portanto
    P_{\parallel}=mg\sin\theta.
  • Em palavras: mg\cos\theta “pressiona” o bloco contra o plano; mg\sin\theta tende a fazer o bloco deslizar para baixo.

Passo 5

Cálculo da força normal (N) usando equilíbrio no eixo y:
  • Se não há movimento perpendicular ao plano, somatório das forças em y é zero: \sum F_y = 0 \implies N - mg\cos\theta = 0.
  • Logo N = mg\cos\theta.
  • Comentário didático: a normal é a reação da superfície para equilibrar a componente perpendicular do peso. Ela depende de m, g e \theta via \cos\theta.

Passo 6

Parte (b) — escrever as forças no eixo x quando o atrito é desprezado:
  • Desprezando atrito, a única força ao longo do eixo x (paralela ao plano) é a componente do peso para baixo: P_{\parallel}=mg\sin\theta.
  • Pelo segundo princípio de Newton (escrevo a forma e explico): a soma das forças ao longo de um eixo é igual à massa vezes a aceleração nesse eixo. Ou seja, \sum F_x = m a_x.Aqui \sum F_x = mg\sin\theta.

Passo 7

Resolver a equação de movimento para obter a aceleração (demonstração passo a passo):
  • Aplicando \sum F_x = m a com a força única mg\sin\theta, m a = mg\sin\theta.
  • Cancela m dos dois lados (explico: desde que m\neq 0, pode-se dividir por m): a = g\sin\theta.
  • Interpretação: a aceleração para baixo ao longo do plano é \,g\sin\theta. Note que não depende da massa do bloco — só do ângulo e da gravidade.

Passo 8

Comentário prático e exemplo numérico rápido (para fixar a ideia):
  • Ex.: se \theta=30^\circ, então \sin 30^\circ = \tfrac{1}{2} e a = \tfrac{g}{2}. Se g\approx 9{,}8\\ \text{m/s}^2, então a\approx 4{,}9\\ \text{m/s}^2.
  • Isso é só para você visualizar — na prova mantenha a forma simbólica a=g\sin\theta.

Passo 9

Parte (c) — condição física para velocidade constante e fórmula do atrito cinético:
  • Velocidade constante significa aceleração zero: a=0. Portanto a soma das forças ao longo de x deve ser zero.
  • A força de atrito cinético tem módulo f_k = \mu_{c} N,onde \mu_{c} é o coeficiente de atrito cinético e N é a normal (já achamos N=mg\cos\theta). O atrito atua para cima do plano quando o bloco desce para baixo.

Passo 10

Escrever a condição de equilíbrio em x e substituir N:
  • Soma de forças em x com a=0: \sum F_x = mg\sin\theta - f_k = 0.
  • Substituindo f_k=\mu_{c}N e N=mg\cos\theta: mg\sin\theta - \mu_{c}(mg\cos\theta) = 0.

Passo 11

Isolar \mu_{c} e obter a resposta final (passo a passo algébrico):
  • Da equação anterior, factoriza mg: mg\bigl(\sin\theta - \mu_{c}\cos\theta\bigr)=0.
  • Como mg\neq 0, temos \sin\theta - \mu_{c}\cos\theta = 0.
  • Isolando \mu_{c}: \mu_{c} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \tan\theta.
  • Interpretação: para que um bloco desça com velocidade constante, o coeficiente de atrito cinético deve ser exatamente \tan\theta. Novamente, não depende da massa nem de g.

Resposta

(a) Forças: \vec{P}=m\vec{g} (vertical para baixo); \vec{N} (normal, perpendicular ao plano, para fora do plano); \vec{f} (força de atrito, paralela ao plano, apontando para cima do plano se o bloco tende a deslizar para baixo).
(b) a = g\sin\theta.
(c) \mu_{c} = \tan\theta.

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