(2pt) Mostre se o limite existe ou não existe.
\lim _{(x, y) \longrightarrow(0,0)} \frac{x^{4}-y^{2}}{x^{4}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o seguinte limite existe quando (x,y) tende a (0,0):
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{4}-y^{2}}{x^{4}+y^{2}}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A função considerada é f(x,y)=\dfrac{x^{4}-y^{2}}{x^{4}+y^{2}} definida para (x,y)\neq(0,0) (o denominador é x^{4}+y^{2}, que só é zero em (0,0)).
  • A pergunta é: o limite existe? Se existir, qual é o valor; se não existir, mostrar a razão.
    Não se resolve nada ainda; apenas ficou claro o que é pedido e o que temos.

Passo 2

Estratégia e ideia didática (por que usar esse método).
  • Definição prática: para que o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) exista e valha L, o valor de f(x,y) quando (x,y) se aproxima de (0,0) deve tender a L por qualquer caminho. Assim, uma forma simples de mostrar que o limite NÃO existe é encontrar duas (ou mais) trajetórias que vão a (0,0) e para as quais f tende a limites diferentes.
  • Observação útil para este problema: os termos são x^{4} e y^{2}. É natural testar caminhos onde y^{2} escala com x^{4}, por exemplo y=kx^{2}, porque aí esses dois termos ficam do mesmo “ordem” e a razão pode depender do parâmetro k. Também é conveniente testar caminhos simples como y=0 e x=0.
    Vou aplicar essas ideias: calcular limites ao longo de alguns caminhos e ver se os valores coincidem ou não.

Passo 3

Caminho 1: y=0.
  • Para y=0 e x\neq0 temos
f(x,0)=\frac{x^{4}-0}{x^{4}+0}=\frac{x^{4}}{x^{4}}=1.
  • Portanto, ao aproximar (x,y) a (0,0) pelo eixo y=0 (isto é, x\to0 com y=0), o valor de f(x,y) é sempre 1, então o limite ao longo desse caminho é
\lim_{x\to0} f(x,0)=1.

Passo 4

Caminho 2: x=0.
  • Para x=0 e y\neq0 temos
f(0,y)=\frac{0 - y^{2}}{0 + y^{2}}=\frac{-y^{2}}{y^{2}}=-1.
  • Portanto, ao aproximar (x,y) a (0,0) pelo eixo x=0 (isto é, y\to0 com x=0), o limite ao longo desse caminho é
\lim_{y\to0} f(0,y)=-1.

Passo 5

Interpretação das duas respostas obtidas.
  • Encontrámos dois caminhos que chegam a (0,0) e dão limites diferentes: pelo eixo y=0 o limite é 1, e pelo eixo x=0 o limite é -1.
  • Pelo critério de dependência de caminho, se existem dois caminhos com limites distintos, o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0) não pode existir (não há um único valor L que seja limite por todos os caminhos).

Passo 6

Exploração adicional (mostra que há muitos valores possíveis).
  • Tomemos a família de caminhos parabólicos y=kx^{2} com k\in\mathbb{R}. Para esses caminhos, y^{2}=k^{2}x^{4}. Substituindo em f:
f(x,kx^{2})=\frac{x^{4}-k^{2}x^{4}}{x^{4}+k^{2}x^{4}}=\frac{1-k^{2}}{1+k^{2}},
para x\neq0. Note que o lado direito não depende de x, apenas de k.
  • Assim, ao aproximar pela curva y=kx^{2} (com x\to0), o limite é
\lim_{x\to0} f(x,kx^{2})=\frac{1-k^{2}}{1+k^{2}}.
  • Isso mostra que variando k obtém-se uma família contínua de valores entre -1 e 1. Por exemplo:
    • k=0 \dfrac{1-0}{1+0}=1 (caso já visto: y=0);
    • k=1 \dfrac{1-1}{1+1}=0 (limite 0 por y=x^{2});
    • tomando k\to\infty (sentido de curvas muito “verticais”) a expressão tende a -1, consistente com o caminho x=0.
  • Esse fato torna ainda mais claro que não há um único número que seja o limite por todas as direções/curvas.

Resposta

O limite não existe.

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