(2pt) Mostre se o limite existe ou não existe.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o seguinte limite existe quando
tende a
:
Informações dadas e observações imediatas:
- A função considerada é
definida para (o denominador é , que só é zero em ). - A pergunta é: o limite existe? Se existir, qual é o valor; se não existir, mostrar a razão.
Não se resolve nada ainda; apenas ficou claro o que é pedido e o que temos.
Passo 2
Estratégia e ideia didática (por que usar esse método).
- Definição prática: para que o limite
exista e valha , o valor de quando se aproxima de deve tender a por qualquer caminho. Assim, uma forma simples de mostrar que o limite NÃO existe é encontrar duas (ou mais) trajetórias que vão a e para as quais tende a limites diferentes. - Observação útil para este problema: os termos são
e . É natural testar caminhos onde escala com , por exemplo , porque aí esses dois termos ficam do mesmo “ordem” e a razão pode depender do parâmetro . Também é conveniente testar caminhos simples como e .
Vou aplicar essas ideias: calcular limites ao longo de alguns caminhos e ver se os valores coincidem ou não.
Passo 3
Caminho 1:
.
- Para
e temos
- Portanto, ao aproximar
a pelo eixo (isto é, com ), o valor de é sempre , então o limite ao longo desse caminho é
Passo 4
Caminho 2:
.
- Para
e temos
- Portanto, ao aproximar
a pelo eixo (isto é, com ), o limite ao longo desse caminho é
Passo 5
Interpretação das duas respostas obtidas.
- Encontrámos dois caminhos que chegam a
e dão limites diferentes: pelo eixo o limite é , e pelo eixo o limite é . - Pelo critério de dependência de caminho, se existem dois caminhos com limites distintos, o limite de
quando não pode existir (não há um único valor que seja limite por todos os caminhos).
Passo 6
Exploração adicional (mostra que há muitos valores possíveis).
- Tomemos a família de caminhos parabólicos
com . Para esses caminhos, . Substituindo em :
para
. Note que o lado direito não depende de
, apenas de
.
- Assim, ao aproximar pela curva
(com ), o limite é
- Isso mostra que variando
obtém-se uma família contínua de valores entre e . Por exemplo: -
dá (caso já visto: ); -
dá (limite por ); - tomando
(sentido de curvas muito “verticais”) a expressão tende a , consistente com o caminho .
-
- Esse fato torna ainda mais claro que não há um único número que seja o limite por todas as direções/curvas.
Resposta
O limite não existe.