Ex. 4 - (2pt) Resolva um dos exercícios seguintes e indique sua escolha, 4A ou 4B
Expresse partial wpartial t como função de t onde
w=x^2+y^2+x y, x=t+2, y=t^2
de duas maneiras:
(a) Por substituição direta, expressando w em termos de t.
(b) Usando a Regra da Cadeia.

Passo 1

Escolha do exercício: 4A.
Temos w=x^2+y^2+xy com x=t+2 e y=t^2. Para encontrar partial wpartial t vamos usar dois métodos: (a) substituição direta e (b) regra da cadeia.

Passo 2

Substituição direta: substituindo x=t+2 e y=t^2 em w
w(t)=(t+2)^2+(t^2)^2+(t+2)t^2
Expandindo:
w(t)=t^2+4t+4+t^4+t^3+2t^2=t^4+t^3+3t^2+4t+4
Derivando em relação a t:
dwdt=4t^3+3t^2+6t+4

Passo 3

Regra da cadeia: primeiro calculamos as derivadas parciais
partial wpartial x=2x+y
partial wpartial y=2y+x
e as derivadas de x e y:
dxdt=1, dydt=2t
Logo
partial wpartial t =partial wpartial xdxdt +partial wpartial ydydt =(2x+y)cdot1+(2y+x)cdot2t
Substituindo x=t+2 e y=t^2 e simplificando, obtemos
4t^3+3t^2+6t+4

Resposta

Exercício 4A.
Em ambas as abordagens:
partial wpartial t=4t^3+3t^2+6t+4

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