Ex. 2 - (3pt) Mostre quais dos seguinte limite existem ou prove que não existem. Justifique sua resposta.
lim (x, y) (0,0) x y-y^2raizx-raizy

Passo 1

O enunciado pede o limite
lim(x,y)to(0,0)xy - y^2raizx-raizy,
ou seja, é um problema de limite em duas variáveis que envolve radicais. Para resolver, vamos precisar tratar o domínio da função (por causa das raízes) e usar a técnica de multiplicar pelo conjugado para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro observe o domínio real da função: como há raizx e raizy, precisamos de x>=0 e y>=0. Além disso, a expressão original só faz sentido quando o denominador é não nulo, isto é raizx-raizyneq0, ou seja xneq y. Portanto, o limite só carece ser verificado em pontos com x>=0, y>=0 e xneq y, aproximando-se de (0,0).

Passo 3

Para simplificar
xy - y^2raizx-raizy,
multiplique numerador e denominador pelo conjugado raizx+raizy:
xy - y^2raizx-raizy =(xy - y^2),(raizx+raizy)(raizx-raizy)(raizx+raizy) =y,(x-y),(raizx+raizy)x-y =y,(raizx+raizy),
válido sempre que xneq y. Logo, na vizinhança de (0,0) (fora da reta x=y), a função coincide com
f(x,y)=yl(raizx+raizyr)

Passo 4

Agora vemos que
f(x,y)=yraizx+yraizy
Como lim(x,y)to(0,0)y=0 e lim(x,y)to(0,0)raizx=lim(x,y)to(0,0)raizy=0, o produto tende a zero. Para dar um recorte epsilon-delta, note que, se raizx^2+y^2<de<a, então raizx<de<a e raizy<de<a, e também |y|<=raizx^2+y^2<de<a. Assim
l|y(raizx+raizy)r|<= |y|l(raizx+raizyr) <de<a,( de<a+de<a)=2de<a^2,
que fica arbitrariamente pequeno escolhendo de<a<raizvarepsilon/2. Logo f(x,y)to0.

Passo 5

Como a expressão simplificada é contínua em todo ponto do domínio próximo a (0,0) e tende a zero, concluímos que o limite existe e vale 0.

Resposta

lim(x,y)to(0,0)xy - y^2raizx-raizy=0

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