Ex. 2 - (3pt) Mostre quais dos seguinte limite existem ou prove que não existem. Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede o limite
ou seja, é um problema de limite em duas variáveis que envolve radicais. Para resolver, vamos precisar tratar o domínio da função (por causa das raízes) e usar a técnica de multiplicar pelo conjugado para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro observe o domínio real da função: como há e , precisamos de e . Além disso, a expressão original só faz sentido quando o denominador é não nulo, isto é , ou seja . Portanto, o limite só carece ser verificado em pontos com , e , aproximando-se de .
Passo 3
Para simplificar
multiplique numerador e denominador pelo conjugado :
válido sempre que . Logo, na vizinhança de (fora da reta ), a função coincide com
Passo 4
Agora vemos que
Como e , o produto tende a zero. Para dar um recorte epsilon-delta, note que, se , então e , e também . Assim
que fica arbitrariamente pequeno escolhendo de<a<raizvarepsilon/2. Logo f(x,y)to0.
Passo 5
Como a expressão simplificada é contínua em todo ponto do domínio próximo a (0,0) e tende a zero, concluímos que o limite existe e vale 0.