Ex. 4 - (2pt) Resolva um dos exercícios seguintes e indique sua escolha, 4A ou 4B
Determine a equação do plano tangente à superfície no ponto especificado
x^3+y^3+z^3=2 x y+2 x z+2 y z, P=(2,2,2)

Passo 1

Temos uma superfície implícita dada por
x^3+y^3+z^3-2xy-2xz-2yz=0
e queremos a equação do plano tangente a essa superfície no ponto P=(2,2,2).
Conteúdo: usamos derivadas parciais e gradiente para superfícies implícitas.

Passo 2

Definimos a função
F(x,y,z)=x^3+y^3+z^3-2xy-2xz-2yz
A normal ao plano tangente em P é dada por nabla F(P).

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de F:
Fx=3x^2-2y-2z, Fy=3y^2-2x-2z, Fz=3z^2-2x-2y

Passo 4

Avaliamo-las em P=(2,2,2):
Fx(2,2,2)=3cdot2^2-2cdot2-2cdot2=12-4-4=4,
Fy(2,2,2)=4, Fz(2,2,2)=4
Logo nabla F(2,2,2)=(4,4,4).

Passo 5

A equação do plano tangente fica
nabla F(P)cdotl((x,y,z)-(2,2,2)r)=0
isto é,
4(x-2)+4(y-2)+4(z-2)=0
que simplifica para

Resposta

x+y+z=6

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