Ex. 3 - (3pt) Seja a função
dada por:
(a) Determine
e
, fora da origem e por definição na origem.
(b) Determine se a função é diferenciável na origem
(b) Determine se a função é diferenciável na origem
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede em (a) as derivadas parciais de
fora da origem e na origem (por definição) e em (b) verificar se
é diferenciável em
.
Passo 2
Para
usamos a regra da cadeia: escrevemos
com
Então
Logo
Passo 3
Na origem definimos
Passo 4
Para verificar diferenciabilidade em
, checamos se
é zero. Note que
e
, então
Dividindo por
obtemos
Assim
f(h,k)=o(raizh^2+k^2) e
f é diferenciável em
(0,0) .
Resposta
(a) Para
(x,y)neq(0,0) :
Na origem:
(b) A função
f é diferenciável em
(0,0) .