Ex. 3 - (3pt) Seja a função f: R^2 longrightarrow R dada por:
f(x, y)=raizx^4+4 y^4
(a) Determine partial fpartial x e partial fpartial y, fora da origem e por definição na origem.
(b) Determine se a função é diferenciável na origem

Passo 1

O enunciado dá a função
fcolon R^2 to R, f(x,y)=raizx^4+4y^4,
e pede em (a) as derivadas parciais de f fora da origem e na origem (por definição) e em (b) verificar se f é diferenciável em (0,0).

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0) usamos a regra da cadeia: escrevemos f(x,y)=g(h(x,y)) com
g(t)=raizt, h(x,y)=x^4+4y^4
Então
g'(t)=12raizt, partial hpartial x=4x^3, partial hpartial y=16y^3
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partial fpartial x(x,y) = g'(h(x,y)),partial hpartial x = 12raizx^4+4y^4;4x^3 = 2x^3raizx^4+4y^4,
partial fpartial y(x,y) = g'(h(x,y)),partial hpartial y = 12raizx^4+4y^4;16y^3 = 8y^3raizx^4+4y^4

Passo 3

Na origem definimos
partial fpartial x(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto0raizh^4+0-0h =limhto0|h|^2h =limhto0h =0,
partial fpartial y(0,0) =limkto0f(0,k)-f(0,0)k =limkto0raiz0+4k^4k =limkto02k^2k =limkto02k =0

Passo 4

Para verificar diferenciabilidade em (0,0), checamos se
lim(h,k)to(0,0) f(h,k)-l[0cdot h+0cdot kr]raizh^2+k^2 =lim(h,k)to(0,0)raizh^4+4k^4raizh^2+k^2
é zero. Note que h^4<= (h^2+k^2)^2 e k^4<= (h^2+k^2)^2, então
raizh^4+4k^4<= raiz5,(h^2+k^2)^2 =raiz5,(h^2+k^2)
Dividindo por raizh^2+k^2 obtemos
0<= raizh^4+4k^4raizh^2+k^2 <= raiz5,raizh^2+k^2 ;xrightarrow[(h,k)to(0,0)];0
Assim f(h,k)=o(raizh^2+k^2) e f é diferenciável em (0,0).

Resposta

(a) Para (x,y)neq(0,0):
partial fpartial x(x,y)=2x^3raizx^4+4y^4, partial fpartial y(x,y)=8y^3raizx^4+4y^4
Na origem:
partial fpartial x(0,0)=0, partial fpartial y(0,0)=0
(b) A função f é diferenciável em (0,0).

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