(2pt) Use integrais duplas para calcular a área da região limitada pela parábola x=y^{2} e a reta y=x-1 (As resoluções sem o uso de integrais duplas não serão avaliadas).

Passo 1

O enunciado pede: calcular a área da região limitada pela parábola x=y^{2} e pela reta y=x-1, usando integrais duplas.
Informações dadas:
  • Curva 1: x=y^{2}.
  • Curva 2: y=x-1, que pode ser escrita como x=y+1.
    A tarefa é montar uma integral dupla que represente a área da região comum limitada por essas duas curvas e avaliá‑la.

Passo 2

Conceito usado (aula rápida): a área de uma região R no plano pode ser expressa como a integral dupla da função constante 1 sobre R:
\text{Área}(R)=\iint_{R} 1\,dA.Á
Se escolhemos integrar primeiro em x e depois em y, a integral dupla fica
\iint_{R} 1\,dA=\int_{y_{\min}}^{y_{\max}}\left(\int_{x_{\text{esq}}(y)}^{x_{\text{dir}}(y)} 1\,dx\right)dy,
onde x_{\text{esq}}(y) e x_{\text{dir}}(y) são as curvas que dão as abscissas esquerda e direita de R para cada y. Vou usar esse método porque as equações dadas são facilmente escritas como x= função de y.

Passo 3

Encontrar as interseções das curvas para obter y_{\min} e y_{\max}. Igualando x em ambas:
y^{2}=y+1.
Isso leva à equação quadrática
y^{2}-y-1=0.
As raízes são
y=\frac{1\pm\sqrt{1+4}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}.
Portanto
y_{\min}=\frac{1-\sqrt{5}}{2},\qquad y_{\max}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}.

Passo 4

Determinar qual curva é a esquerda e qual é a direita entre essas interseções. Compare x=y^{2} e x=y+1 por meio da função
f(y)=y^{2}-(y+1)=y^{2}-y-1.
Como f(y) é uma parábola com concavidade para cima e tem raízes exatamente nos valores acima, temos f(y)<0 para y entre as raízes. Logo, para y\in\bigl(y_{\min},y_{\max}\bigr) vale y^{2}<y+1. Isso significa:
  • x_{\text{esq}}(y)=y^{2} (parábola),
  • x_{\text{dir}}(y)=y+1 (reta).

Passo 5

Montar a integral dupla para a área conforme o esquema do Passo 2:
\text{Área}=\int_{y_{\min}}^{y_{\max}}\left(\int_{y^{2}}^{y+1} 1\,dx\right)dy.Á
A integral interna é simples: \int_{y^{2}}^{y+1} 1\,dx = (y+1)-y^{2}. Assim
\text{Área}=\int_{y_{\min}}^{y_{\max}}\bigl(y+1-y^{2}\bigr)\,dy.Á

Passo 6

Calcular a primitiva da função integranda. Uma primitiva de \, -y^{2}+y+1 \, é
F(y)=-\frac{1}{3}y^{3}+\frac{1}{2}y^{2}+y.
Portanto
\text{Área}= \left[-\frac{1}{3}y^{3}+\frac{1}{2}y^{2}+y\right]_{y_{\min}}^{y_{\max}}.Á

Passo 7

Para avaliar a diferença é conveniente usar identidades entre as raízes y_{1}=y_{\min} e y_{2}=y_{\max}. Denote y_{1} e y_{2} as essas raízes; então pelas relações de Viète:
y_{1}+y_{2}=1,\qquad y_{1}y_{2}=-1.
Daí
y_{2}-y_{1}=\sqrt{(y_{1}+y_{2})^{2}-4y_{1}y_{2}}=\sqrt{1-4(-1)}=\sqrt{5}.
Também
y_{2}^{2}-y_{1}^{2}=(y_{2}-y_{1})(y_{2}+y_{1})=\sqrt{5}\cdot 1=\sqrt{5}.
E
y_{2}^{3}-y_{1}^{3}=(y_{2}-y_{1})(y_{2}^{2}+y_{2}y_{1}+y_{1}^{2}).
Mas
y_{2}^{2}+y_{1}^{2}=(y_{2}+y_{1})^{2}-2y_{1}y_{2}=1^{2}-2(-1)=3,
portanto
y_{2}^{2}+y_{2}y_{1}+y_{1}^{2}=3+(-1)=2,
e assim
y_{2}^{3}-y_{1}^{3}= (y_{2}-y_{1})\cdot 2 = 2\sqrt{5}.

Passo 8

Usar essas diferenças na expressão da área:
\text{Área}= -\frac{1}{3}\bigl(y_{2}^{3}-y_{1}^{3}\bigr)+\frac{1}{2}\bigl(y_{2}^{2}-y_{1}^{2}\bigr)+\bigl(y_{2}-y_{1}\bigr).Á
Substituindo os resultados do Passo 7:
\text{Área}= -\frac{1}{3}\cdot 2\sqrt{5} + \frac{1}{2}\cdot \sqrt{5} + \sqrt{5}.Á
Fatorando \sqrt{5}:
\text{Área}= \sqrt{5}\left(-\frac{2}{3}+\frac{1}{2}+1\right).Á
Calcule a soma no parêntese com denominador comum 6:
-\frac{2}{3}+\frac{1}{2}+1 = -\frac{4}{6}+\frac{3}{6}+\frac{6}{6}=\frac{5}{6}.
Portanto
\text{Área}=\frac{5}{6}\sqrt{5}.Á

Resposta

\displaystyle \frac{5\sqrt{5}}{6}

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