(2pt) Use integrais duplas para calcular a área da região limitada pela parábola
e a reta
(As resoluções sem o uso de integrais duplas não serão avaliadas).
Passo 1
O enunciado pede: calcular a área da região limitada pela parábola
e pela reta
, usando integrais duplas.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Curva 1:
. - Curva 2:
, que pode ser escrita como .
A tarefa é montar uma integral dupla que represente a área da região comum limitada por essas duas curvas e avaliá‑la.
Passo 2
Conceito usado (aula rápida): a área de uma região
no plano pode ser expressa como a integral dupla da função constante
sobre
:
Se escolhemos integrar primeiro em
e depois em
, a integral dupla fica
onde
e
são as curvas que dão as abscissas esquerda e direita de
para cada
. Vou usar esse método porque as equações dadas são facilmente escritas como
função de
.
Passo 3
Encontrar as interseções das curvas para obter
e
. Igualando
em ambas:
Isso leva à equação quadrática
As raízes são
Portanto
Passo 4
Determinar qual curva é a esquerda e qual é a direita entre essas interseções. Compare
e
por meio da função
Como
é uma parábola com concavidade para cima e tem raízes exatamente nos valores acima, temos
para
entre as raízes. Logo, para
vale
. Isso significa:
-
(parábola), -
(reta).
Passo 5
Montar a integral dupla para a área conforme o esquema do Passo 2:
A integral interna é simples:
. Assim
Passo 6
Calcular a primitiva da função integranda. Uma primitiva de
é
Portanto
Passo 7
Para avaliar a diferença é conveniente usar identidades entre as raízes
e
. Denote
e
as essas raízes; então pelas relações de Viète:
Daí
Também
E
Mas
portanto
e assim
Passo 8
Usar essas diferenças na expressão da área:
Substituindo os resultados do Passo 7:
Fatorando
:
Calcule a soma no parêntese com denominador comum
:
Portanto