Se
é uma série convergente de reais,
é sempre convergente? Se
, então é verdade que
é sempre convergente?
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações e perguntas:
- Dado que
é uma série convergente de termos reais. - Pergunta 1: A partir disso, a série
é sempre convergente? - Em seguida é dada a hipótese extra
para todos . - Pergunta 2: Sob a hipótese
, a série é sempre convergente?
Passo 2
Uma observação útil (fato que vamos usar depois): se uma série
converge (ou seja,
converge absolutamente), então
converge. Vou provar isso passo a passo e explicar por quê.
- Se
converge, então quando . - Portanto existe
tal que para todo tem-se . - Para esses
vale (porque se então ). - Assim, pela comparação com termo a termo, a soma dos
a partir de é majorada por , que é finita. - Logo
converge (a soma finitíssima de termos iniciais não altera a convergência).
Resumo didático: absoluta convergência de
implica convergência de
. Mas isso não responde ainda se, sem a hipótese de convergência absoluta, a afirmação vale sempre — vamos ver com um contraexemplo.
Passo 3
Construção do contraexemplo para a Pergunta 1 (mostrar que não é sempre verdade):
- Considere a sequência
. - Primeiro, mostro que
converge. Vou usar o teste da série alternada (teste de Leibniz): - Os termos em módulo são
. - A sequência
é positiva, monotonicamente decrescente e quando . - Pelo teste de Leibniz, a série alternada
converge. - Portanto
converge (é uma convergência condicional, não absoluta).
- Os termos em módulo são
- Agora calcule
: . - A série
é a série harmônica, que diverge. - Conclusão do contraexemplo: aqui
converge, mas diverge. Logo, em geral, não é verdade que sempre converge quando converge.
Didaticamente: a diferença crucial é convergência condicional versus absoluta. No exemplo,
é condicionalmente convergente; ao elevar os termos ao quadrado perdemos o sinal alternado que fazia a soma convergir, e sobrou uma série divergente.
Passo 4
Comentário extra sobre quando a implicação funciona: se
converge absolutamente (isto é,
), então como mostrei no Passo 2,
converge. Mas se a convergência for apenas condicional, a série dos quadrados pode divergir (o contraexemplo mostrou isso).
Passo 5
Contraexemplo para a Pergunta 2 (caso
): mostrar que mesmo com
e
convergente, não é garantido que
converja.
- Tome
. Então para todo . - A série
é convergente (é uma série -com ). - Porém
. - A série
é a harmônica e diverge. - Conclusão: mesmo com
e convergente, pode divergir. Portanto a resposta é não.
Passo 6
Quando então
converge? Um critério prático usando séries do tipo
:
- Se
tem comportamento do tipo com , então e converge se e somente se , isto é, . - Em termos de comparação: se existe
e constante tal que para grande, então converge por comparação com uma série -com . - Em contraste, se
decai “apenas” como ou mais lentamente, a soma das raízes pode divergir (como o exemplo acima).
Resposta
Não. Contrexemplo:
; então
converge (teste alternado) e
diverge.
Não. Contrexemplo: ; então
converge e
diverge.
Não. Contrexemplo: