Se \Sigma\left(a_{n}\right) é uma série convergente de reais, \Sigma\left(a_{n}^{2}\right) é sempre convergente? Se a_{n} \geq 0, então é verdade que \Sigma\left(\sqrt{a_{n}}\right) é sempre convergente?

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e perguntas:
  • Dado que \Sigma\left(a_{n}\right) é uma série convergente de termos reais.
  • Pergunta 1: A partir disso, a série \Sigma\left(a_{n}^{2}\right) é sempre convergente?
  • Em seguida é dada a hipótese extra a_{n}\ge 0 para todos n.
  • Pergunta 2: Sob a hipótese a_{n}\ge 0, a série \Sigma\left(\sqrt{a_{n}}\right) é sempre convergente?

Passo 2

Uma observação útil (fato que vamos usar depois): se uma série \Sigma |a_{n}| converge (ou seja, \Sigma a_{n} converge absolutamente), então \Sigma a_{n}^{2} converge. Vou provar isso passo a passo e explicar por quê.
  • Se \Sigma |a_{n}| converge, então |a_{n}|\to 0 quando n\to\infty.
  • Portanto existe N tal que para todo n\ge N tem-se |a_{n}|\le 1.
  • Para esses n vale a_{n}^{2} \le |a_{n}| (porque se 0\le |a_{n}|\le 1 então |a_{n}|^{2}\le |a_{n}|).
  • Assim, pela comparação com termo a termo, a soma dos a_{n}^{2} a partir de N é majorada por \sum_{n=N}^\infty |a_{n}|, que é finita.
  • Logo \Sigma a_{n}^{2} converge (a soma finitíssima de termos iniciais não altera a convergência).
Resumo didático: absoluta convergência de \Sigma a_{n} implica convergência de \Sigma a_{n}^{2}. Mas isso não responde ainda se, sem a hipótese de convergência absoluta, a afirmação vale sempre — vamos ver com um contraexemplo.

Passo 3

Construção do contraexemplo para a Pergunta 1 (mostrar que não é sempre verdade):
  • Considere a sequência \displaystyle a_{n} = \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}.
  • Primeiro, mostro que \Sigma a_{n} converge. Vou usar o teste da série alternada (teste de Leibniz):
    • Os termos em módulo são b_{n}=\frac{1}{\sqrt{n}}.
    • A sequência b_{n} é positiva, monotonicamente decrescente e b_{n}\to 0 quando n\to\infty.
    • Pelo teste de Leibniz, a série alternada \sum (-1)^{n} b_{n} converge.
    • Portanto \Sigma a_{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}} converge (é uma convergência condicional, não absoluta).
  • Agora calcule a_{n}^{2}: \displaystyle a_{n}^{2}=\frac{1}{n}.
  • A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} é a série harmônica, que diverge.
  • Conclusão do contraexemplo: aqui \Sigma a_{n} converge, mas \Sigma a_{n}^{2} diverge. Logo, em geral, não é verdade que \Sigma a_{n}^{2} sempre converge quando \Sigma a_{n} converge.
Didaticamente: a diferença crucial é convergência condicional versus absoluta. No exemplo, \Sigma a_{n} é condicionalmente convergente; ao elevar os termos ao quadrado perdemos o sinal alternado que fazia a soma convergir, e sobrou uma série divergente.

Passo 4

Comentário extra sobre quando a implicação funciona: se \Sigma a_{n} converge absolutamente (isto é, \Sigma |a_{n}|<\infty), então como mostrei no Passo 2, \Sigma a_{n}^{2} converge. Mas se a convergência for apenas condicional, a série dos quadrados pode divergir (o contraexemplo mostrou isso).

Passo 5

Contraexemplo para a Pergunta 2 (caso a_{n}\ge 0): mostrar que mesmo com a_{n}\ge 0 e \Sigma a_{n} convergente, não é garantido que \Sigma \sqrt{a_{n}} converja.
  • Tome \displaystyle a_{n}=\frac{1}{n^{2}}. Então a_{n}\ge 0 para todo n.
  • A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} é convergente (é uma série p-com p=2>1).
  • Porém \displaystyle \sqrt{a_{n}}=\frac{1}{n}.
  • A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} é a harmônica e diverge.
  • Conclusão: mesmo com a_{n}\ge 0 e \sum a_{n} convergente, \sum \sqrt{a_{n}} pode divergir. Portanto a resposta é não.

Passo 6

Quando então \Sigma \sqrt{a_{n}} converge? Um critério prático usando séries do tipo p:
  • Se a_{n} tem comportamento do tipo a_{n}\sim C n^{-p} com p>2, então \sqrt{a_{n}}\sim \sqrt{C}\, n^{-p/2} e \sum \sqrt{a_{n}} converge se e somente se p/2>1, isto é, p>2.
  • Em termos de comparação: se existe p>2 e constante C tal que a_{n}\le C n^{-p} para n grande, então \sum \sqrt{a_{n}} converge por comparação com uma série p-com p/2>1.
  • Em contraste, se a_{n} decai “apenas” como 1/n^{2} ou mais lentamente, a soma das raízes pode divergir (como o exemplo acima).

Resposta

Não. Contrexemplo: a_{n}=(-1)^{n}/\sqrt{n}; então \sum a_{n} converge (teste alternado) e \sum a_{n}^{2}=\sum 1/n diverge.
Não. Contrexemplo: a_{n}=1/n^{2}\ge 0; então \sum a_{n} converge e \sum \sqrt{a_{n}}=\sum 1/n diverge.

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