(2pt) Calcule o volume da região do primeiro octante limitada pelo plano x+y=1 e pelo cilindro z^{2}=1-x^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o volume da região do primeiro octante limitada pelo plano x+y=1 e pelo cilindro z^{2}=1-x^{2}.
Informações dadas:
  • A superfície z^{2}=1-x^{2} equivale a z=\pm\sqrt{1-x^{2}}; é um “cilindro” paralelo ao eixo y (porque não depende de y). Para existir z real é necessário -1\le x\le1.
  • O plano x+y=1 é uma superfície vertical inclinada; no primeiro octante (onde x\ge0,\;y\ge0,\;z\ge0) ele impõe a condição y\le 1-x.
  • Primeiro octante significa x\ge0, y\ge0, z\ge0.
O que é pedido:
  • Calcular o volume da região com x\ge0,\;y\ge0,\;z\ge0 limitada lateralmente por x+y=1 e superiormente por z=\sqrt{1-x^{2}}.

Passo 2

Entendimento geométrico e escolha das variáveis de integração.
Explicando devagar: a superfície z=\sqrt{1-x^{2}} dá a altura máxima em função de x, e não depende de y. A interseção com o primeiro octante restringe x a 0\le x\le1 (porque para x>1 a raiz seria imaginária). Para cada x fixo no intervalo [0,1], o plano x+y=1 0\le y\le 1-x. Finalmente z varia entre 0 e \sqrt{1-x^{2}}.
Por isso uma ordem natural é integrar em z primeiro, depois y e por fim x.

Passo 3

Montagem do integral triplo que dá o volume.
O volume V é
V=\iiint_{\text{região}} dV.ã
Com as observações do passo anterior podemos escrever
V=\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{\,1-x}\int_{z=0}^{\sqrt{1-x^{2}}} dz\,dy\,dx.
Aqui cada diferencial significa:
  • dz integra ao longo da altura vertical para um ponto (x,y) fixo;
  • dy soma essas alturas ao longo da direção y entre 0 e 1-x;
  • dx varre x de 0 até 1.

Passo 4

Fazer a integração na variável z (a mais simples).
A integral interna é
\int_{z=0}^{\sqrt{1-x^{2}}} dz = \sqrt{1-x^{2}}.
Portanto o integral reduz-se a
V=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x} \sqrt{1-x^{2}}\; dy\, dx.

Passo 5

Integrar em y.
A quantidade \sqrt{1-x^{2}} não depende de y, então
\int_{y=0}^{1-x} \sqrt{1-x^{2}}\; dy = (1-x)\,\sqrt{1-x^{2}}.
Logo
V=\int_{0}^{1} (1-x)\sqrt{1-x^{2}}\; dx.

Passo 6

Dividir o integrando para facilitar a integração.
Escrevo
(1-x)\sqrt{1-x^{2}}=\sqrt{1-x^{2}}-x\sqrt{1-x^{2}}.
Logo o volume é a diferença de duas integrais:
V=\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^{2}}\;dx \;-\; \int_{0}^{1} x\sqrt{1-x^{2}}\;dx.
Vou calcular cada uma separadamente, explicando os passos.

Passo 7

Cálculo da primeira integral \displaystyle \int_{0}^{1}\sqrt{1-x^{2}}\;dx.
Interpretação geométrica rápida: \int_{0}^{1}\sqrt{1-x^{2}}\;dx é a área do quarto de círculo de raio 1, portanto vale \dfrac{\pi}{4}. Se preferir ver por substituição trigonométrica: coloque x=\sin\theta, então dx=\cos\theta\,d\theta e quando x=0 temos \theta=0, quando x=1 temos \theta=\tfrac{\pi}{2}. A integral vira
\int_{0}^{\pi/2} \cos^{2}\theta\, d\theta =\int_{0}^{\pi/2} \frac{1+\cos 2\theta}{2}\,d\theta =\left.\frac{\theta}{2}+\frac{\sin 2\theta}{4}\right|_{0}^{\pi/2} =\frac{\pi}{4}.

Passo 8

Cálculo da segunda integral \displaystyle \int_{0}^{1} x\sqrt{1-x^{2}}\;dx por substituição direta.
Faça u=1-x^{2}. Então du=-2x\,dx, ou seja x\,dx=-\dfrac{1}{2}\,du.
Os limites mudam: quando x=0 temos u=1; quando x=1 temos u=0.
Portanto
\int_{0}^{1} x\sqrt{1-x^{2}}\;dx =\int_{u=1}^{0} \sqrt{u}\left(-\dfrac{1}{2}\,du\right) =\dfrac{1}{2}\int_{0}^{1} u^{1/2}\,du.
Agora a primitiva de u^{1/2} é \dfrac{u^{3/2}}{3/2}=\dfrac{2}{3}u^{3/2}. Assim
\dfrac{1}{2}\int_{0}^{1} u^{1/2}\,du=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{2}{3} \left[u^{3/2}\right]_{0}^{1} =\dfrac{1}{3}.

Passo 9

Combinar os resultados.
Do passo 7 temos \displaystyle \int_{0}^{1}\sqrt{1-x^{2}}\;dx=\dfrac{\pi}{4}.
Do passo 8 temos \displaystyle \int_{0}^{1} x\sqrt{1-x^{2}}\;dx=\dfrac{1}{3}.
Portanto
V=\frac{\pi}{4}-\frac{1}{3}.

Resposta

\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{1}{3}

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