(2pt) Calcule o volume da região do primeiro octante limitada pelo plano x+y=1 e pelo cilindro z^{2}=1-x^{2}.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o volume da região do primeiro octante limitada pelo plano x+y=1 e pelo cilindro z^{2}=1-x^{2}.
Informações dadas:
A superfície z^{2}=1-x^{2} equivale a z=\pm\sqrt{1-x^{2}}; é um “cilindro” paralelo ao eixo y (porque não depende de y). Para existir z real é necessário -1\le x\le1.
O plano x+y=1 é uma superfície vertical inclinada; no primeiro octante (onde x\ge0,\;y\ge0,\;z\ge0) ele impõe a condição y\le 1-x.
Primeiro octante significa x\ge0, y\ge0, z\ge0.
O que é pedido:
Calcular o volume da região com x\ge0,\;y\ge0,\;z\ge0 limitada lateralmente por x+y=1 e superiormente por z=\sqrt{1-x^{2}}.
Passo 2
Entendimento geométrico e escolha das variáveis de integração.
Explicando devagar: a superfície z=\sqrt{1-x^{2}} dá a altura máxima em função de x, e não depende de y. A interseção com o primeiro octante restringe x a 0\le x\le1 (porque para x>1 a raiz seria imaginária). Para cada x fixo no intervalo [0,1], o plano x+y=1 dá 0\le y\le 1-x. Finalmente z varia entre 0 e \sqrt{1-x^{2}}.
Por isso uma ordem natural é integrar em z primeiro, depois y e por fim x.
Passo 3
Montagem do integral triplo que dá o volume.
O volume V é
V=\iiint_{\text{região}} dV.
Com as observações do passo anterior podemos escrever
Vou calcular cada uma separadamente, explicando os passos.
Passo 7
Cálculo da primeira integral \displaystyle \int_{0}^{1}\sqrt{1-x^{2}}\;dx.
Interpretação geométrica rápida: \int_{0}^{1}\sqrt{1-x^{2}}\;dx é a área do quarto de círculo de raio 1, portanto vale \dfrac{\pi}{4}. Se preferir ver por substituição trigonométrica: coloque x=\sin\theta, então dx=\cos\theta\,d\theta e quando x=0 temos \theta=0, quando x=1 temos \theta=\tfrac{\pi}{2}. A integral vira