[2pts] Uma engenheira de software está gerenciando um servidor web que hospeda uma aplicaçāo crítica. Através de monitoramento contínuo, ela observou que o número de tentativas de login com falha (por exemplo, devido a ataques de força bruta ou bots) segue uma distribuição de Poisson. Em média, o sistema registra s tentativas de login com falha por minuto. Para proteger o sistema, foi implementada uma regra de firewall automática: se o número de falhas de login em um determinado minuto exceder um certo limite, o sistema aciona um alerta de segurança e pode bloquear temporariamente faixas de IP. Qual é a probabilidade de que, em um minuto qualquer, o sistema não registre nenhuma tentativa de login com falha?

Passo 1

O enunciado pergunta qual é a probabilidade de que, em um minuto qualquer, o sistema não registre nenhuma tentativa de login com falha. Informações fornecidas pelo enunciado:
  • O número de tentativas de login com falha em um minuto segue uma distribuição de Poisson.
  • A média (esperança) desse número por minuto é \,s\, (isto é, em média \,s\, falhas por minuto).
    Não há outras perguntas; apenas calcular a probabilidade de zero falhas em um minuto.

Passo 2

Vamos definir uma variável aleatória para organizar a ideia. Seja \,X\, o número de tentativas de login com falha em um minuto. O enunciado diz que \,X\, tem distribuição de Poisson com parâmetro igual à média por minuto, que é \,s. Portanto o parâmetro da distribuição (que usualmente chamamos de \lambda) vale \,\lambda = s\,. Isso significa que todas as probabilidades de contagem vêm da mesma fórmula da Poisson, trocando \lambda por \,s.

Passo 3

Apresento a fórmula fundamental da distribuição de Poisson — isso é importante para a prova e para entender cada termo. A probabilidade de \,X\, assumir o valor inteiro \,k (onde \,k=0,1,2,\dots) é dada por:
P(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\,\lambda^{k}}{k!}.
Aqui cada símbolo significa:
  • \,P(X=k)\,: probabilidade de ocorrer exatamente \,k\, eventos (aqui, falhas) no intervalo considerado;
  • \,\lambda\,: parâmetro da Poisson, que é a média do número de eventos no intervalo (no nosso caso \,\lambda=s);
  • \,e^{-\lambda}\,: fator exponencial que garante que as probabilidades somem 1;
  • \,\lambda^{k}\,: potência que dá peso ao número \,k\, de eventos;
  • \,k!\,: fatorial de \,k\,, que normaliza a fórmula; lembre que \,0! = 1\,.

Passo 4

Agora aplicamos essa fórmula ao nosso problema: queremos a probabilidade de nenhuma tentativa de login com falha em um minuto, ou seja \,k=0. Substituímos \,\lambda = s\, e \,k=0\, na fórmula:
P(X=0)=\frac{e^{-s}\,s^{0}}{0!}.

Passo 5

Simplificamos a expressão usando fatos simples de potências e fatoriais: qualquer número elevado a zero vale 1, então \,s^{0}=1\,. E por definição \,0!=1\,. Assim a expressão fica
P(X=0)=\frac{e^{-s}\cdot 1}{1}=e^{-s}.

Passo 6

Interpretação final em palavras: a probabilidade de não ocorrer nenhuma tentativa de login com falha em um minuto é \,e^{-s}. Isso faz sentido intuitivamente: quanto maior a média \,s\, (mais tentativas típicas por minuto), menor será \,e^{-s} e, portanto, menor a chance de ter zero falhas num minuto. Um exemplo numérico rápido: se \,s=2\, (média de 2 falhas por minuto), então a probabilidade de zero falhas em um minuto é \,e^{-2}\approx 0{,}1353, cerca de 13{,}5\%.

Resposta

e^{-s}

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