[2pts] Uma engenheira de software está gerenciando um servidor web que hospeda uma aplicaçāo crítica. Através de monitoramento contínuo, ela observou que o número de tentativas de login com falha (por exemplo, devido a ataques de força bruta ou bots) segue uma distribuição de Poisson. Em média, o sistema registra
tentativas de login com falha por minuto. Para proteger o sistema, foi implementada uma regra de firewall automática: se o número de falhas de login em um determinado minuto exceder um certo limite, o sistema aciona um alerta de segurança e pode bloquear temporariamente faixas de IP. Qual é a probabilidade de que, em um minuto qualquer, o sistema não registre nenhuma tentativa de login com falha?
Passo 1
O enunciado pergunta qual é a probabilidade de que, em um minuto qualquer, o sistema não registre nenhuma tentativa de login com falha. Informações fornecidas pelo enunciado:
- O número de tentativas de login com falha em um minuto segue uma distribuição de Poisson.
- A média (esperança) desse número por minuto é
(isto é, em média falhas por minuto).
Não há outras perguntas; apenas calcular a probabilidade de zero falhas em um minuto.
Passo 2
Vamos definir uma variável aleatória para organizar a ideia. Seja
o número de tentativas de login com falha em um minuto. O enunciado diz que
tem distribuição de Poisson com parâmetro igual à média por minuto, que é
. Portanto o parâmetro da distribuição (que usualmente chamamos de
) vale
. Isso significa que todas as probabilidades de contagem vêm da mesma fórmula da Poisson, trocando
por
.
Passo 3
Apresento a fórmula fundamental da distribuição de Poisson — isso é importante para a prova e para entender cada termo. A probabilidade de
assumir o valor inteiro
(onde
) é dada por:
Aqui cada símbolo significa:
-
: probabilidade de ocorrer exatamente eventos (aqui, falhas) no intervalo considerado; -
: parâmetro da Poisson, que é a média do número de eventos no intervalo (no nosso caso ); -
: fator exponencial que garante que as probabilidades somem 1; -
: potência que dá peso ao número de eventos; -
: fatorial de , que normaliza a fórmula; lembre que .
Passo 4
Agora aplicamos essa fórmula ao nosso problema: queremos a probabilidade de nenhuma tentativa de login com falha em um minuto, ou seja
. Substituímos
e
na fórmula:
Passo 5
Simplificamos a expressão usando fatos simples de potências e fatoriais: qualquer número elevado a zero vale 1, então
. E por definição
. Assim a expressão fica
Passo 6
Interpretação final em palavras: a probabilidade de não ocorrer nenhuma tentativa de login com falha em um minuto é
. Isso faz sentido intuitivamente: quanto maior a média
(mais tentativas típicas por minuto), menor será
e, portanto, menor a chance de ter zero falhas num minuto. Um exemplo numérico rápido: se
(média de 2 falhas por minuto), então a probabilidade de zero falhas em um minuto é
, cerca de
.