Um engenheiro está monitorando a umidade do solo em um local de construção após períodos de chuva. Ele sabe que a umidade excessiva pode comprometer a estabilidade do solo e atrasar a obra. A partir de dados históricos, ele modelou a umidade do solo, X, 24 horas após uma chuva padrāo. A umidade X é medida como uma proporção do ponto de saturação (ou seja, X=0 significa solo seco, X=1 significa que os vazios do solo estão 50 \% preenchidos com água, etc., até um máximo prático de X=3, representando um solo extremamente encharcado). A função densidade de probabilidade (f.d.p.) que descreve a probabilidade de encóntrar um certo nível de umidade x é dada por:
f(x)=\left\{\begin{array}{cll} \frac{2}{3} x, & \text { se } 0 \leq x<1 & \text { (absorção rápida) } \\\\ -\frac{x}{3}+1, & \text { se } 1 \leq x<3 & \text { (drenagem lenta) } \\\\ 0, & \text { para qualquer outro valor de } x \end{array}\right.çãá
(a) O engenheiro precisa calcular a probabilidade de a umidade ser menor ou igual a um certo nível \dot{x}, i.e, encontre a Função de Distribuição Acumulada, F_{X}(x).
(b) Análise de Risco Estrutural: O engenheiro sabe que se a umidáde do solo ultrapassar um nível crítico de \mathbf{2 . 0}, há um risco significativo de instabilidade em um talude próximo. Qual é a probabilidade de que, após uma chuva padrāo, a umidade do solo exceda este nível crítico?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  1. Encontrar a Função de Distribuição Acumulada, [F_X(x)), associada à densidade de probabilidade dada para a umidade do solo X.
  2. Calcular a probabilidade de que X ultrapasse o nível crítico \,2{,}0, ou seja P(X>2).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
f(x)=\begin{cases} \dfrac{2}{3}\,x, & \text{se }0\le x<1,\\[6pt] -\dfrac{x}{3}+1, & \text{se }1\le x<3,\\[6pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á
Também foi informado que o domínio prático do modelo é (0\le x\le 3]. Não há outros dados a pedir.]

Passo 2

Breve revisão do que é a CDF e como obtê-la (aula rápida e prática):
  • A função de distribuição acumulada F_X(x) dá a probabilidade de a variável aleatória X ser menor ou igual a x: \;F_X(x)=P(X\le x).
  • Para uma densidade f, a relação é
F_X(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt.
Isto significa que, para calcular F_X(x) em um ponto x, integramos a f.d.p. desde -\infty até x. Como a f.d.p. é zero fora de [0,3], a integração efetiva começa em 0 quando x\ge0.

Passo 3

Antes de construir a CDF peça por peça, verificamos rapidamente que f está normalizada (isto ajuda a evitar surpresas durante a prova). Calculamos a integral total:
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = \int_{0}^{1} \frac{2}{3}x\,dx + \int_{1}^{3}\left(-\frac{x}{3}+1\right)dx.
Calculamos cada termo:
\int_{0}^{1} \frac{2}{3}x\,dx = \frac{2}{3}\cdot\frac{x^2}{2}\Big|_{0}^{1}=\frac{1}{3}.
\int_{1}^{3}\left(-\frac{x}{3}+1\right)dx = \left(-\frac{x^2}{6}+x\right)\Big|_{1}^{3} = \left(-\frac{9}{6}+3\right)-\left(-\frac{1}{6}+1\right) = \left(-\frac{3}{2}+3\right)-\left(-\frac{1}{6}+1\right).
Continuando as contas:
-\frac{3}{2}+3=\frac{3}{2},\qquad -\frac{1}{6}+1=\frac{5}{6},
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\int_{1}^{3}\left(-\frac{x}{3}+1\right)dx = \frac{3}{2}-\frac{5}{6} = \frac{9}{6}-\frac{5}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.
Somando:
\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=1.
Portanto f é uma f.d.p. válida (integral total igual a 1) — bom sinal.

Passo 4

Agora construímos F_X(x) por intervalos. Primeiro caso: se x<0, como f é zero antes de 0,
F_X(x)=0 \quad\text{para } x<0.
Isto é óbvio porque não há probabilidade acumulada antes de 0.

Passo 5

Segundo caso: 0\le x<1. Aqui integramos desde 0 até x a parte de f.d.p. \frac{2}{3}t (usei t como variável de integração para não confundir com o limite x):
F_X(x)=\int_{0}^{x} \frac{2}{3}t\,dt.
Calcule a integral passo a passo:
\int \frac{2}{3}t\,dt = \frac{2}{3}\cdot\frac{t^2}{2} = \frac{t^2}{3}.
Aplicando os limites 0 a x:
F_X(x)=\frac{x^2}{3}-\frac{0^2}{3}=\frac{x^2}{3}.
Portanto
F_X(x)=\frac{1}{3}x^2 \quad\text{para } 0\le x<1.
Observação didática: esse resultado cresce como x^2, sentido de que probabilidade acumulada aumenta lentamente perto de 0 porque a densidade é proporcional a x.

Passo 6

Terceiro caso: 1\le x<3. Aqui a CDF até x é a probabilidade acumulada até 1 mais a contribuição de 1 até x:
F_X(x)=\int_{0}^{1}\frac{2}{3}t\,dt + \int_{1}^{x}\left(-\frac{t}{3}+1\right)dt.
Já sabemos da etapa anterior que \int_{0}^{1}\frac{2}{3}t\,dt=\frac{1}{3}. Agora calcule a segunda integral explicitamente:
\int_{1}^{x}\left(-\frac{t}{3}+1\right)dt = \left(-\frac{t^2}{6}+t\right)\Big|_{1}^{x} = \left(-\frac{x^2}{6}+x\right)-\left(-\frac{1}{6}+1\right).
Avalie o termo constante:
-\frac{1}{6}+1=\frac{5}{6}.
Então a segunda integral vale
-\frac{x^2}{6}+x-\frac{5}{6}.
Somando com \frac{1}{3}:
F_X(x)=\frac{1}{3} +\left(-\frac{x^2}{6}+x-\frac{5}{6}\right) = -\frac{x^2}{6}+x+\left(\frac{1}{3}-\frac{5}{6}\right).
Calcule \frac{1}{3}-\frac{5}{6}=\frac{2}{6}-\frac{5}{6}=-\frac{3}{6}=-\frac{1}{2}. Portanto
F_X(x)=-\frac{x^2}{6}+x-\frac{1}{2}\quad\text{para }1\le x<3.
Verificação rápida (boa prática de prova): em x=1 isto dá
-\frac{1}{6}+1-\frac{1}{2}=\frac{1}{3},
que coincide com o valor de F_X no intervalo anterior — a CDF é contínua em x=1. Em x=3
-\frac{9}{6}+3-\frac{1}{2}=1,
o que coincide com toda a probabilidade acumulada — ótimo.

Passo 7

Quarto caso: para x\ge 3 a CDF já acumulou toda a probabilidade (a f.d.p. é zero depois de 3), então
F_X(x)=1 \quad\text{para } x\ge 3.

Passo 8

Agora respondemos à segunda pergunta: calcular P(X>2).
  • Lembra que para qualquer variável contínua X,
P(X>2)=1-P(X\le 2)=1-F_X(2).
Como 2 está no intervalo [1,3), usamos a fórmula que encontramos para esse intervalo:
F_X(2)=-\frac{2^2}{6}+2-\frac{1}{2}.
Calcule passo a passo:
-\frac{2^2}{6}=-\frac{4}{6}=-\frac{2}{3},
2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}.
Somando:
F_X(2)=-\frac{2}{3}+\frac{3}{2}=\frac{-4+9}{6}=\frac{5}{6}.
Portanto
P(X>2)=1-\frac{5}{6}=\frac{1}{6}\approx 0{,}1667.
Interpretação prática: há cerca de 16{,}7\% de chance de a umidade ultrapassar o nível crítico \,2{,}0 após uma chuva padrão — informação importante para decisões de segurança e planejamento na obra.

Resposta

F_X(x)=\begin{cases} 0, & x<0,\\[6pt] \dfrac{1}{3}x^{2}, & 0\le x<1,\\[8pt] -\dfrac{x^{2}}{6}+x-\dfrac{1}{2}, & 1\le x<3,\\[8pt] 1, & x\ge 3, \end{cases}
P(X>2)=\dfrac{1}{6}\approx 0{,}1667]

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