Um engenheiro está monitorando a umidade do solo em um local de construção após períodos de chuva. Ele sabe que a umidade excessiva pode comprometer a estabilidade do solo e atrasar a obra. A partir de dados históricos, ele modelou a umidade do solo, X, 24 horas após uma chuva padrāo. A umidade X é medida como uma proporção do ponto de saturação (ou seja, X=0 significa solo seco, X=1 significa que os vazios do solo estão 50 \% preenchidos com água, etc., até um máximo prático de X=3, representando um solo extremamente encharcado). A função densidade de probabilidade (f.d.p.) que descreve a probabilidade de encóntrar um certo nível de umidade x é dada por:
f(x)=\left\{\begin{array}{cll} \frac{2}{3} x, & \text { se } 0 \leq x<1 & \text { (absorção rápida) } \\\\ -\frac{x}{3}+1, & \text { se } 1 \leq x<3 & \text { (drenagem lenta) } \\\\ 0, & \text { para qualquer outro valor de } x \end{array}\right.
(a) O engenheiro precisa calcular a probabilidade de a umidade ser menor ou igual a um certo nível \dot{x}, i.e, encontre a Função de Distribuição Acumulada, F_{X}(x).
(b) Análise de Risco Estrutural: O engenheiro sabe que se a umidáde do solo ultrapassar um nível crítico de \mathbf{2 . 0}, há um risco significativo de instabilidade em um talude próximo. Qual é a probabilidade de que, após uma chuva padrāo, a umidade do solo exceda este nível crítico?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
Encontrar a Função de Distribuição Acumulada, [F_X(x)), associada à densidade de probabilidade dada para a umidade do solo X.
Calcular a probabilidade de que X ultrapasse o nível crítico \,2{,}0, ou seja P(X>2).
Também foi informado que o domínio prático do modelo é (0\le x\le 3]. Não há outros dados a pedir.]
Passo 2
Breve revisão do que é a CDF e como obtê-la (aula rápida e prática):
A função de distribuição acumulada F_X(x) dá a probabilidade de a variável aleatória X ser menor ou igual a x: \;F_X(x)=P(X\le x).
Para uma densidade f, a relação é
F_X(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt.
Isto significa que, para calcular F_X(x) em um ponto x, integramos a f.d.p. desde -\infty até x. Como a f.d.p. é zero fora de [0,3], a integração efetiva começa em 0 quando x\ge0.
Passo 3
Antes de construir a CDF peça por peça, verificamos rapidamente que f está normalizada (isto ajuda a evitar surpresas durante a prova). Calculamos a integral total:
Portanto f é uma f.d.p. válida (integral total igual a 1) — bom sinal.
Passo 4
Agora construímos F_X(x) por intervalos. Primeiro caso: se x<0, como f é zero antes de 0,
F_X(x)=0 \quad\text{para } x<0.
Isto é óbvio porque não há probabilidade acumulada antes de 0.
Passo 5
Segundo caso: 0\le x<1. Aqui integramos desde 0 até x a parte de f.d.p. \frac{2}{3}t (usei t como variável de integração para não confundir com o limite x):
Observação didática: esse resultado cresce como x^2, sentido de que probabilidade acumulada aumenta lentamente perto de 0 porque a densidade é proporcional a x.
Passo 6
Terceiro caso: 1\le x<3. Aqui a CDF até x é a probabilidade acumulada até 1 mais a contribuição de 1 até x:
Interpretação prática: há cerca de 16{,}7\% de chance de a umidade ultrapassar o nível crítico \,2{,}0 após uma chuva padrão — informação importante para decisões de segurança e planejamento na obra.