3- [2pts] Um químico está estudando uma molécula que, quando excitada por um laser, pode emitir um fóton e retornar a um estado de menor energia. Devido à regras de seleção quântica, a molécula não retorna diretamente ao.estado fundamental, mas pode decair para um de vários níveis de energia vibracional permitidos. Seja V a variável aleatória que representa o nível de energia vibracional final (um número quântico inteiro v=1,2,3, \ldots ) para o qual a molécula decai após a emissão de um fóton. Após repetidas mediçōes espectroscópicas, o químico determinou a seguinte distribuição de probabilidade para os níveis finais observados:
Nivel Vibracional (v) Probabilidade P(V=v)
1 1 / 10
2 1 / 10
3 2 / 10
4 2 / 10
5 2 / 10
6 1 / 10
7 1 / 10
Com base nesta distribuição, um pesquisador está interessado em certas características do processo de decaimento. Determine:
(a) A probabilidade de que o nível vibracional final esteja a menos de uma unidade de distância do nível 4, i.e.,
P(|V-1|<1) .
(b) Sabe-se que a energia de um nível vibracional v é aproximadamente proporcional a E_{v} \approx(2 v-1) \hbar \omega. Determine a variância da energia final em unidades de (\hbar \omega)^{2}, ou seja, \operatorname{Var}(2 V-1).

Passo 1

O enunciado dá a distribuição de probabilidade discreta de V (nível vibracional final) para v=1,2,\dots,7:
P(V=1)=\tfrac{1}{10},\; P(V=2)=\tfrac{1}{10},\; P(V=3)=\tfrac{2}{10},\; P(V=4)=\tfrac{2}{10},
P(V=5)=\tfrac{2}{10},\; P(V=6)=\tfrac{1}{10},\; P(V=7)=\tfrac{1}{10}.
O problema pede duas coisas:
(a) a probabilidade de que o nível final esteja a menos de uma unidade de distância do nível 4; o enunciado escreve P(|V-1|<1), mas isto parece ser um erro de digitação. Vou interpretar a pergunta como
P(|V-4|<1).
(b) a variância da energia final em unidades de (\hbar\omega)^{2}, ou seja, \operatorname{Var}(2V-1), dado que a energia é proporcional a (2v-1)\hbar\omega.

Passo 2

Interpretação matemática de (a): a condição |V-4|<1 significa que os valores inteiros de V satisfazem
-1 < V-4 < 1 \quad\Longleftrightarrow\quad 3 < V < 5.
Como V só assume valores inteiros, a única possibilidade é V=4. Portanto
P(|V-4|<1)=P(V=4).
Pelo enunciado, P(V=4)=\tfrac{2}{10}. Podemos simplificar essa fração:
\tfrac{2}{10}=\tfrac{1}{5}=0,2.
(Isto responde a parte (a).)

Passo 3

Agora vamos à parte (b). Definimos a variável aleatória da energia adimensional (multiplicador de \hbar\omega) como
Y = 2V-1.
Queremos \operatorname{Var}(Y)=\operatorname{Var}(2V-1). Usamos a propriedade fundamental da variância: para constantes a e b,
\operatorname{Var}(aX+b)=a^{2}\operatorname{Var}(X).
Aplicando com a=2 e X=V, obtemos
\operatorname{Var}(2V-1)=2^{2}\operatorname{Var}(V)=4\operatorname{Var}(V).
Então precisamos calcular \operatorname{Var}(V)=\mathbb{E}[V^{2}]-(\mathbb{E}[V])^{2}.

Passo 4

Calcular a esperança \mathbb{E}[V]. Pela definição,
\mathbb{E}[V]=\sum_{v=1}^{7} v\;P(V=v).
Substituindo os valores da tabela:
\mathbb{E}[V]=\frac{1\cdot 1 + 2\cdot 1 + 3\cdot 2 + 4\cdot 2 + 5\cdot 2 + 6\cdot 1 + 7\cdot 1}{10}.
Agora somamos os termos no numerador:
1+2+6+8+10+6+7 = 40,
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\mathbb{E}[V]=\frac{40}{10}=4.

Passo 5

Calcular \mathbb{E}[V^{2}]. Pela definição,
\mathbb{E}[V^{2}]=\sum_{v=1}^{7} v^{2}\;P(V=v).
Substituindo:
\mathbb{E}[V^{2}]=\frac{1^{2}\cdot 1 + 2^{2}\cdot 1 + 3^{2}\cdot 2 + 4^{2}\cdot 2 + 5^{2}\cdot 2 + 6^{2}\cdot 1 + 7^{2}\cdot 1}{10}.
Somando os termos do numerador:
1 + 4 + 18 + 32 + 50 + 36 + 49 = 190,
então
\mathbb{E}[V^{2}]=\frac{190}{10}=19.

Passo 6

Agora a variância de V:
\operatorname{Var}(V)=\mathbb{E}[V^{2}]-(\mathbb{E}[V])^{2}=19-4^{2}=19-16=3.
Usando o resultado do Passo 3,
\operatorname{Var}(2V-1)=4\operatorname{Var}(V)=4\cdot 3=12.
A unidade é (\hbar\omega)^{2}, porque multiplicar 2V-1 por \hbar\omega dá a energia em unidades de \hbar\omega.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{1}{5}
(b) \displaystyle 12 (em unidades de (\hbar\omega)^{2})

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