3- [2pts] Um químico está estudando uma molécula que, quando excitada por um laser, pode emitir um fóton e retornar a um estado de menor energia. Devido à regras de seleção quântica, a molécula não retorna diretamente ao.estado fundamental, mas pode decair para um de vários níveis de energia vibracional permitidos. Seja V a variável aleatória que representa o nível de energia vibracional final (um número quântico inteiro
) para o qual a molécula decai após a emissão de um fóton. Após repetidas mediçōes espectroscópicas, o químico determinou a seguinte distribuição de probabilidade para os níveis finais observados:
Nivel Vibracional
Probabilidade
1
2
3
4
5
6
7
Com base nesta distribuição, um pesquisador está interessado em certas características do processo de decaimento. Determine:
(a) A probabilidade de que o nível vibracional final esteja a menos de uma unidade de distância do nível 4, i.e.,
(b) Sabe-se que a energia de um nível vibracional
é aproximadamente proporcional a
. Determine a variância da energia final em unidades de
, ou seja,
.
| Nivel Vibracional
|
Probabilidade
|
| 1 |
|
| 2 |
|
| 3 |
|
| 4 |
|
| 5 |
|
| 6 |
|
| 7 |
|
(a) A probabilidade de que o nível vibracional final esteja a menos de uma unidade de distância do nível 4, i.e.,
Passo 1
O enunciado dá a distribuição de probabilidade discreta de
(nível vibracional final) para
:
O problema pede duas coisas:
(a) a probabilidade de que o nível final esteja a menos de uma unidade de distância do nível ; o enunciado escreve
, mas isto parece ser um erro de digitação. Vou interpretar a pergunta como
(a) a probabilidade de que o nível final esteja a menos de uma unidade de distância do nível
(b) a variância da energia final em unidades de
, ou seja,
, dado que a energia é proporcional a
.
Passo 2
Interpretação matemática de (a): a condição
significa que os valores inteiros de
satisfazem
Como
só assume valores inteiros, a única possibilidade é
. Portanto
Pelo enunciado,
. Podemos simplificar essa fração:
(Isto responde a parte (a).)
Passo 3
Agora vamos à parte (b). Definimos a variável aleatória da energia adimensional (multiplicador de
) como
Queremos
. Usamos a propriedade fundamental da variância: para constantes
e
,
Aplicando com
e
, obtemos
Então precisamos calcular
.
Passo 4
Calcular a esperança
. Pela definição,
Substituindo os valores da tabela:
Agora somamos os termos no numerador:
logo
Passo 5
Calcular
. Pela definição,
Substituindo:
Somando os termos do numerador:
então
Passo 6
Agora a variância de
:
Usando o resultado do Passo 3,
A unidade é
, porque multiplicar
por
dá a energia em unidades de
.
Resposta
(a)
(b) (em unidades de
)
(b)