Um professor aplicou uma prova para uma turma de 50 alunos e obteve os seguintes resultados agrupados:
Intervalo de notas Frequência
[0,2[ 5
[2,4[ 10
[4,6[ 20
[6,8[ 10
[8,10] 5
Com base nesses dados:
a) Calcule a média, a mediana e a moda das notas.
b) Estime a variância das notas dos alunos.

Passo 1

O enunciado dá uma distribuição de frequências com 5 classes e pede duas coisas:
a) Calcular a média, a mediana e a moda das notas.
b) Estimar a variância das notas dos alunos.
Informações fornecidas (peguei da tabela do enunciado):
\begin{array}{ll} \text{Intervalo} & \text{Frequência }(f_i)\\hline [0,2[ & 5\\\ [2,4[ & 10\\\ [4,6[ & 20\\\ [6,8[ & 10\\\ [8,10] & 5 \end{array}ê
Total de alunos: N=\sum f_i = 50.

Passo 2

Média para dados agrupados — ideia e fórmula.
Quando só temos classes, aproximamos cada classe por seu ponto médio x_i e usamos a média ponderada pelas frequências:
\bar{x}=\frac{1}{N}\sum_{i} f_i x_i,
onde f_i é a frequência da i-ésima classe e x_i é o ponto médio dessa classe. Explico cada termo: N é o total de observações, f_i conta quantas observações estão na classe i, e x_i representa a nota “típica” da classe — o ponto médio — porque sem dados individuais é a melhor aproximação simples.
Calculemos os pontos médios x_i de cada classe (ponto médio é (\text{limite inferior}+\text{limite superior})/2):
\begin{aligned} x_1&=\frac{0+2}{2}=1,\\\ x_2&=\frac{2+4}{2}=3,\\\ x_3&=\frac{4+6}{2}=5,\\\ x_4&=\frac{6+8}{2}=7,\\\ x_5&=\frac{8+10}{2}=9. \end{aligned}

Passo 3

Cálculo da média numérica usando os x_i:
Calculemos f_i x_i para cada classe:
\begin{aligned} f_1x_1&=5\cdot 1=5,\\\ f_2x_2&=10\cdot 3=30,\\\ f_3x_3&=20\cdot 5=100,\\\ f_4x_4&=10\cdot 7=70,\\\ f_5x_5&=5\cdot 9=45. \end{aligned}
Somando:
\sum_i f_i x_i = 5+30+100+70+45 = 250.
Portanto a média é
\bar{x}=\frac{1}{N}\sum_i f_i x_i = \frac{250}{50}=5.

Passo 4

Mediana para dados agrupados — ideia e fórmula.
A mediana é o valor que divide a amostra em duas metades. Para N observações ordenadas, a posição mediana é N/2. No caso de dados agrupados usamos interpolação dentro da classe que contém a posição N/2. A fórmula de interpolação linear para a mediana é
\text{Mediana}=L+\frac{\frac{N}{2}-F_{\text{ant}}}{f_{\text{cl}}}\,h,
onde:
  • L é o limite inferior da classe mediana,
  • F_{\text{ant}} é a frequência acumulada antes da classe mediana,
  • f_{\text{cl}} é a frequência da classe mediana,
  • h é a amplitude (largura) da classe.
    Essa fórmula assume que as observações estão uniformemente distribuídas dentro da classe (uma aproximação comum).
Vamos encontrar a classe mediana: posição N/2=\tfrac{50}{2}=25. Frequências acumuladas:
\begin{aligned} F_1&=5,\\\ F_2&=5+10=15,\\\ F_3&=15+20=35,\\\ F_4&=35+10=45,\\\ F_5&=45+5=50. \end{aligned}
A posição 25 está na classe 3 (pois 15<25\le 35), que é a classe [4,6[. Assim:
L=4,\quad F_{\text{ant}}=15,\quad f_{\text{cl}}=20,\quad h=2.

Passo 5

Cálculo da mediana numérico:
Substituindo na fórmula:
\text{Mediana}=4+\frac{25-15}{20}\cdot 2 =4+\frac{10}{20}\cdot 2=4+0{,}5\cdot 2=4+1=5.
Assim a mediana estimada é 5.

Passo 6

Moda para dados agrupados — ideia e fórmula.
A moda é o valor com maior frequência. Para dados agrupados identificamos a classe modal (aquela com maior f_i) e interpolamos com base nas frequências das classes vizinhas. A fórmula clássica por interpolação é
\text{Moda}=L+\frac{f_1-f_0}{2f_1-f_0-f_2}\,h,
onde:
  • L é o limite inferior da classe modal,
  • f_1 é a frequência da classe modal,
  • f_0 é a frequência da classe anterior,
  • f_2 é a frequência da classe seguinte,
  • h é a amplitude da classe.
Aqui a maior frequência é f_3=20, então a classe modal é novamente [4,6[. Temos L=4, f_1=20, f_0=10 (classe anterior), f_2=10 (classe seguinte) e h=2.

Passo 7

Cálculo da moda numérico:
Substituindo na fórmula:
\text{Moda}=4+\frac{20-10}{2\cdot 20-10-10}\cdot 2 =4+\frac{10}{40-20}\cdot 2 =4+\frac{10}{20}\cdot 2=4+0{,}5\cdot 2=4+1=5.
Portanto a moda estimada é 5.

Passo 8

Variância para dados agrupados — ideia e fórmula.
Para estimar a variância usando os pontos médios usamos a fórmula (variância populacional estimada a partir dos dados agrupados)
\sigma^2=\frac{1}{N}\sum_i f_i (x_i-\bar{x})^2,
onde \bar{x} é a média já calculada. (Se quiséssemos a variância amostral usaríamos divisor N-1, mas aqui o enunciado pede estimar a variância das notas — vou usar o divisor N, comum quando se trata da população inteira da turma.)
Já temos \bar{x}=5 e os x_i e f_i. Calculemos (x_i-\bar{x})^2 e f_i(x_i-\bar{x})^2.

Passo 9

Cálculo numérico da variância passo a passo:
Desvios e quadrados:
\begin{aligned} x_1-\bar{x}&=1-5=-4,\quad (x_1-\bar{x})^2=16,\\\ x_2-\bar{x}&=3-5=-2,\quad (x_2-\bar{x})^2=4,\\\ x_3-\bar{x}&=5-5=0,\quad (x_3-\bar{x})^2=0,\\\ x_4-\bar{x}&=7-5=2,\quad (x_4-\bar{x})^2=4,\\\ x_5-\bar{x}&=9-5=4,\quad (x_5-\bar{x})^2=16. \end{aligned}
Multiplicando por f_i:
\begin{aligned} f_1(x_1-\bar{x})^2&=5\cdot 16=80,\\\ f_2(x_2-\bar{x})^2&=10\cdot 4=40,\\\ f_3(x_3-\bar{x})^2&=20\cdot 0=0,\\\ f_4(x_4-\bar{x})^2&=10\cdot 4=40,\\\ f_5(x_5-\bar{x})^2&=5\cdot 16=80. \end{aligned}
Somando:
\sum_i f_i (x_i-\bar{x})^2 = 80+40+0+40+80 = 240.
Então a variância estimada é
\sigma^2=\frac{240}{N}=\frac{240}{50}=4{,}8.

Resposta

a) Média = 5, Mediana = 5, Moda = 5
b) Variância estimada = 4{,}8

Exercícios relacionados