Um professor aplicou uma prova para uma turma de 50 alunos e obteve os seguintes resultados agrupados:
Intervalo de notas
Frequência
5
10
20
10
5
Com base nesses dados:
a) Calcule a média, a mediana e a moda das notas.
b) Estime a variância das notas dos alunos.
| Intervalo de notas | Frequência |
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5 |
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10 |
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20 |
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10 |
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5 |
a) Calcule a média, a mediana e a moda das notas.
b) Estime a variância das notas dos alunos.
Passo 1
O enunciado dá uma distribuição de frequências com
classes e pede duas coisas:
a) Calcular a média, a mediana e a moda das notas.
b) Estimar a variância das notas dos alunos.
a) Calcular a média, a mediana e a moda das notas.
b) Estimar a variância das notas dos alunos.
Informações fornecidas (peguei da tabela do enunciado):
Total de alunos:
.
Passo 2
Média para dados agrupados — ideia e fórmula.
Quando só temos classes, aproximamos cada classe por seu ponto médio e usamos a média ponderada pelas frequências:
Quando só temos classes, aproximamos cada classe por seu ponto médio
onde
é a frequência da
-ésima classe e
é o ponto médio dessa classe. Explico cada termo:
é o total de observações,
conta quantas observações estão na classe
, e
representa a nota “típica” da classe — o ponto médio — porque sem dados individuais é a melhor aproximação simples.
Calculemos os pontos médios
de cada classe (ponto médio é
):
Passo 3
Cálculo da média numérica usando os
:
Calculemos
para cada classe:
Somando:
Portanto a média é
Passo 4
Mediana para dados agrupados — ideia e fórmula.
A mediana é o valor que divide a amostra em duas metades. Para observações ordenadas, a posição mediana é
. No caso de dados agrupados usamos interpolação dentro da classe que contém a posição
. A fórmula de interpolação linear para a mediana é
A mediana é o valor que divide a amostra em duas metades. Para
onde:
-
é o limite inferior da classe mediana, -
é a frequência acumulada antes da classe mediana, -
é a frequência da classe mediana, -
é a amplitude (largura) da classe.
Essa fórmula assume que as observações estão uniformemente distribuídas dentro da classe (uma aproximação comum).
Vamos encontrar a classe mediana: posição
. Frequências acumuladas:
A posição
está na classe
(pois
), que é a classe
. Assim:
Passo 5
Cálculo da mediana numérico:
Substituindo na fórmula:
Assim a mediana estimada é
.
Passo 6
Moda para dados agrupados — ideia e fórmula.
A moda é o valor com maior frequência. Para dados agrupados identificamos a classe modal (aquela com maior ) e interpolamos com base nas frequências das classes vizinhas. A fórmula clássica por interpolação é
A moda é o valor com maior frequência. Para dados agrupados identificamos a classe modal (aquela com maior
onde:
-
é o limite inferior da classe modal, -
é a frequência da classe modal, -
é a frequência da classe anterior, -
é a frequência da classe seguinte, -
é a amplitude da classe.
Aqui a maior frequência é
, então a classe modal é novamente
. Temos
,
,
(classe anterior),
(classe seguinte) e
.
Passo 7
Cálculo da moda numérico:
Substituindo na fórmula:
Portanto a moda estimada é
.
Passo 8
Variância para dados agrupados — ideia e fórmula.
Para estimar a variância usando os pontos médios usamos a fórmula (variância populacional estimada a partir dos dados agrupados)
Para estimar a variância usando os pontos médios usamos a fórmula (variância populacional estimada a partir dos dados agrupados)
onde
é a média já calculada. (Se quiséssemos a variância amostral usaríamos divisor
, mas aqui o enunciado pede estimar a variância das notas — vou usar o divisor
, comum quando se trata da população inteira da turma.)
Já temos
e os
e
. Calculemos
e
.
Passo 9
Cálculo numérico da variância passo a passo:
Desvios e quadrados:
Multiplicando por
:
Somando:
Então a variância estimada é
Resposta
a) Média
, Mediana
, Moda
b) Variância estimada
b) Variância estimada