Calcule o trabalho total realizado pelo campo de forças:
\vec{F}(x, y, z)=2 y^{2} z^{3} \widehat{i}+4 x y z^{3} \widehat{j}+6 x y^{2} z^{2} \widehat{k}, onde C é um arco da cúbica retorcida \vec{r}(t)=t \widehat{i}+t^{2} \widehat{j}+t^{3} \widehat{k}, 1 \leq t \leq 2.

Passo 1

O enunciado pede o trabalho
W=\int_{C}\vec F\cdot d\vec r
onde \vec F(x,y,z)=2y^{2}z^{3}\,\hat\imath+4xyz^{3}\,\hat\jmath+6xy^{2}z^{2}\,\hat k
e C é dado por \vec r(t)=(t,\;t^{2},\;t^{3}), 1\le t\le2.
O conteúdo é integral de linha de um campo vetorial por parametrização. A fórmula-chave é
\int_{C}\vec F\cdot d\vec r=\int_{t_{0}}^{t_{1}}\vec F(\vec r(t))\cdot\vec r'(t)\,dt.

Passo 2

Calculemos a derivada da parametrização:
\vec r'(t)=\frac{d}{dt}(t,\;t^{2},\;t^{3}) =(1,\;2t,\;3t^{2}).

Passo 3

Substituindo \;x=t,\;y=t^{2},\;z=t^{3}\; em \vec F, obtemos
\vec F(\vec r(t)) =\bigl(2(t^{2})^{2}(t^{3})^{3},\;4\,t\,(t^{2})\,(t^{3})^{3},\;6\,t\,(t^{2})^{2}(t^{3})^{2}\bigr) =(2t^{13},\;4t^{12},\;6t^{11}).

Passo 4

Agora o produto escalar
\vec F(\vec r(t))\cdot\vec r'(t) =2t^{13}\cdot1+4t^{12}\cdot(2t)+6t^{11}\cdot(3t^{2}) =2t^{13}+8t^{13}+18t^{13}=28t^{13}.

Passo 5

Integramos de t=1 a t=2:
\int_{1}^{2}28t^{13}\,dt =28\left[\frac{t^{14}}{14}\right]_{1}^{2} =2\bigl(2^{14}-1^{14}\bigr) =2\,(16384-1) =32766.

Resposta

32766

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